2.2.1. Полюс и частотная характеристика аф на переходном участке

Упоминание о полюсах сопровождает любое обсуждение активных фильтров. Например, фильтр второго порядка – двухполюсный. Слово «полюс» взято из области математики – функция комплексной переменной, которая используется при расчете частотных характеристик фильтров. Для практических целей достаточно знать, что полюс указывает на слагаемое наклона АЧХ фильтра на переходном участке, обусловленной одной (любой) из RC-цепей, используемых для формирования частотной характеристики активного фильтра. Известно, что каждая RC-цепь фильтра вносит в наклон переходного участка АЧХ свои -20 дБ/декаду. Например, ФНЧ 6-го порядка имеет 6 полюсов, наклон его АЧХ на переходном участке равен -120 дБ/декаду [7].

2.3. Этапы проектирования аф

Проектирование АФ состоит из двух основных этапов [2].

1-й этап – решается задача аппроксимации – отыскание аналитической аппроксимирующей функции, которая с требуемой точностью воспроизводит заданную по условиям АЧХ.

2-й этап – решается задача схемной реализации – отыскание совокупности цепей, имеющих характеристики, достаточно близкие к аппроксимирующей функции, расчет порядка фильтра, составление структурной схемы, выбор принципиальных схем звеньев, расчет номиналов элементов звеньев, моделирование работы схемы.

2.3.1. Решение задачи аппроксимации

Существует несколько типов стандартных фильтров, которые могут использоваться для аппроксимации заданных АЧХ, проектируемых АФ: фильтры Баттерворта, Чебышева, инверсные Чебышева и эллиптические [3]. Фильтр Баттерворта обладает монотонной (максимально плоской) АЧХ (рис. 2.3, а). АЧХ фильтра Чебышева содержит пульсации (колебания коэффициента передачи) в полосе пропускания и монотонна в полосе задерживания (рис. 2.3, б). АЧХ инверсного фильтра Чебышева монотонна в полосе пропускания и содержит пульсации в полосе задерживания (рис. 2.3, в). АЧХ эллиптического фильтра обладает пульсациями, как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания (рис. 2.3, г).

Рис. 2.3. Разновидности АЧХ ФНЧ

Фильтры Баттерворта обладают монотонной АЧХ, подобной характеристике на рис. 2.3, а. В случае n-го порядка АЧХ фильтра определяется по формуле:

(2.6)

Фильтр Баттерворта представляет собой полиномиальный фильтр и в общем случае обладает передаточной функцией вида

(2.7)

где k – постоянное число.

Для нормированного фильтра, у которого ω_c = 1 рад/с, передаточную функцию для ФНЧ с порядком n = 2, 4, 6, ... можно записать в виде произведения сомножителей:

(2.8)

а для n = 3, 5, 7, ... как

(2.9)

В обоих случаях коэффициенты задаются для k = 1, 2, ... следующим образом:

(2.10)

Очевидно, что коэффициент усиления фильтра Баттерворта, описываемого уравнением (2.7), равен k (значение передаточной функции при S_=_0; b₀_=_1). Если фильтр построен на основе каскадного соединения звеньев, соответствующих сомножителям в (2.8) и (2.9), то A₀ или A_k будет представлять коэффициент усиления звена. АЧХ фильтра Баттерворта наиболее плоская около частоты f = 0 по сравнению с характеристикой любого полиномиального фильтра n-го порядка и поэтому называется максимально плоской. Для диапазона низких частот АЧХ фильтра Баттерворта наилучшим образом аппроксимирует идеальную характеристику. Однако для частот, расположенных около точки среза и в полосе задерживания, характеристика фильтра Баттерворта заметно уступает характеристике фильтра Чебышева.

Фильтры Чебышева имеют меньшую ширину переходной области АЧХ при заданных значениях n, a₁ – максимальном затухании в полосе пропускания, a₂ – максимальном затухании в полосе задерживания, чем фильтры Баттерворта, поэтому их называют оптимальными полиномиальными фильтрами. Их АЧХ определяется следующим образом:

(2.11)

где n = 1, 2, 3, …; ε и k – постоянные числа; C_n – полином Чебышева первого рода степени n:

(2.12)

АЧХ фильтра Чебышева достигает своего максимального значения k в тех точках, где C_n равно нулю. Поскольку эти точки распределены в полосе пропускания, то характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации в полосе пропускания и монотонна в других областях. Размах этих пульсаций определяет параметр ε, а их число – степень n. Коэффициент усиления фильтра определяется значением k. АЧХ фильтра Чебышева изображена на рис. 2.3, б и 2.3, в.

Фильтр Чебышева иногда называют равноволновым фильтром, поскольку амплитуды всех пульсаций равны по значению. Для k = 1 размах пульсаций

(2.13)

т.е. выбрав значение параметра ε достаточно малым, можно уменьшить размах пульсаций RW. Размах пульсаций a₁, выраженный в децибелах, определяется выражением:

(2.14)

Например, если a₁ = 0,5 дБ, то ε = 0,3439. В общем случае, решая уравнение (2.14) относительно ε, можно получить:

(2.15)

Если значение АЧХ A₀ = 1, то (см. рис. 2.2).

Нормированная частота ω_c = 1 рад/с представляет собой точку среза, или граничную точку полосы частот с пульсациями.

Если f_в = f_в, _3дБ, то ε = 1, и в этом случае получается фильтр Чебышева с неравномерностью в полосе пропускания 3 дБ.

Передаточные функции фильтров Чебышева нижних частот n-го порядка определяются аналогично рассмотренным выше функциям фильтра Баттерворта (2.7) – (2.9). Полиномы знаменателя для произведений сомножителей (2.8) и (2.9) табулированы и для ω_c = 1 рад/с (нормированной частоты среза) и n = 2, 3, …, 8 приведены в приложении для неравномерности передачи в полосе пропускания PRW, равной 0,1; 0,5; 1; 2 и 3 дБ.