2.2. Передаточная характеристика аф

Одной из основных характеристик АФ является передаточная функция

(2.1)

где U₁ и U₂ – представляют соответственно входное и выходное напряжения (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Электрический фильтр

Большинство схем фильтров принадлежит к семейству конечных линейных цепей с сосредоточенными параметрами. Выходной сигнал таких цепей определяется решением линейного дифференциального уравнения n-го порядка.

Применяя к такому уравнению преобразование Лапласа, передаточную функцию можно представить в виде отношения двух полиномов U₁(S) и U₂(S):

(2.2)

где S = σ + jω – комплексная частота; U₁(S) и U₂(S) – полиномы переменной S с вещественными коэффициентами a_i и b_j (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n; n≥m).

Порядок фильтра определяется наибольшей степенью оператора Лапласа S в знаменателе. Реальные АЧХ лучше (более близки к идеальным) для фильтров более высокого порядка. Однако повышение порядка связано с усложнением схем и более высокой стоимостью.

Если в (2.2) все коэффициенты a_i равны нулю, за исключением a₀, то передаточная функция представляет собой отношение постоянного числа к полиному. В этом случае фильтр является всеполюсным или полиномиальным, поскольку его передаточная функция обладает тем свойством, что все её полюса конечны, а конечных нулей не содержит. (Нуль определяется значением переменной S, для которой передаточная функция равна нулю, а полюс – это значение переменной S, для которой передаточная функция имеет бесконечное значение).

При входном синусоидальном сигнале выходной сигнал тоже синусоидальный, так как фильтр представляет собой линейную цепь.

Частотная передаточная характеристика этой цепи для установившейся частоты S = jω может быть записана в комплексном виде:

(2.3)

где |H(jω)|=k(ω) – модуль передаточной функции или АЧХ, а φ(ω) – ФЧХ.

Частота ω, рад/с, связана с частотой f, Гц, соотношением

.

(2.4)

АЧХ часто выражается в децибелах:

(2.5)

На рис. 2.2, а приведены АЧХ идеального и реального ФНЧ; на рис. 2.2, б приведена логарифмическая АЧХ реального ФНЧ.

а б

Рис.2.2. Представление частотных характеристик ФНЧ

Полосы частот, в которых сигналы проходят, называются полосами пропускания, а диапазоны, в которых сигналы подавляются, образуют полосы задерживания. Штриховой линией на рис. 2.2, а показана АЧХ идеального ФНЧ. Частота f_в между полосой пропускания и задерживания называется частотой среза. Значение k идеального ФНЧ в полосе пропускания равно k₀, а в полосе задерживания – нулю. Практически невозможно реализовать эту идеальную характеристику, поскольку требуется сформировать очень узкую переходную область.

На практике должны быть формально определены и четко разграничены полосы пропускания и задерживания. В качестве полосы пропускания выбирается диапазон частот, где значение АЧХ превышает некоторое заранее выбранное число, обозначенное k₁ на рис. 2.2, а или а₁ на рис. 2.2, б, а полосу задерживания образует диапазон частот, в котором АЧХ меньше определенного значения, например k₂ на рис. 2.2, а или а₂ на рис. 2.2, б. Интервал частот, в котором характеристика переходит от полосы пропускания к полосе задерживания, называется переходной областью, имеющей ширину Δf.