1.6. Оценка точности геодезических сетей

Основные формулы теории погрешностей позволяют выявить влияние погрешностей измерений на определение основных элементов в типовых схемах построения геодезических сетей: теодолитного хода и триангуляции.

При этом эти формулы позволяют решать не только прямую задачу применительно геодезическим сетям: определение координат пунктов сети и оценку точности конечных результатов, но и обратную не менее важную задачу: выполнение предварительных расчетов о необходимой точности геодезических измерений, методов и порядка производства измерений с целью достижения результата с заданной точностью.

В обоих случаях задача сводится к нахождению зависимостей между погрешностями непосредственно измеряемых величин и их функций, т.е. определяемых величин.

Точность плановой геодезической сети характеризуется средними квадратическими погрешностями определения дирекционных углов и длин сторон хода – для теодолитного хода или ряда – для цепочки треугольников и координат пунктов сети. Обычно вместо погрешностей координат пунктов определяют продольную и поперечную погрешность хода (ряда), т.е. смещение пунктов сети относительно начального вдоль и поперек хода.

І. Теодолитный ход

Средняя квадратическая погрешность дирекционного угла последней стороны хода. Задача заключается в нахождении погрешности функции

α _п = α₀ 180⁰n β₁ β₂ β₃ … β_n. (18)

Погрешность m_αn определения последней стороны хода как функции погрешностей независимо измеренных углов β и погрешности m_αо исходного дирекционного угла запишется в виде

m_{α n} = . (19)

Величиной погрешности m_αо исходного дирекционного угла в вычислениях можно пренебречь. Тогда будем иметь

m_{α n} = m_β . (20)

Если теодолитный ход опирается концами на базисные линии, имеющие дирекционные углы, то наибольшая погрешность дирекционного угла стороны будет в середине хода. В этом случае окончательное значение дирекционного угла в середине хода будет равна как среднее арифметическое из его определений с обоих концов хода. Следовательно, с учетом n/2 здесь применима формула погрешности арифметической средины , т.е.

m_{α n} = m_β . (21)

Отсюда следует, если теодолитный ход проложен между двумя базисными сторонами, дирекционные углы α_о и α _n которых известны, то после уравнивания по ним измеренных углов поворота β погрешность дирекционного угла стороны в середине хода уменьшается вдвое.

Средняя квадратическая погрешность длины стороны теодолитного хода. Стороны теодолитных ходов измеряются непосредственно и независимо друг от друга. Поэтому средние квадратические погрешности (абсолютные или относительные) длин сторон хода определяются точностью применяемого мерного прибора и вычисляются по результатам непосредственных измерений.

Продольная средняя квадратическая погрешность хода. Вообще говоря, продольное смещение последней точки вытянутого теодолитного хода можно рассматривать как среднюю квадратическую погрешность длины хода, т.е. продольная погрешность прямолинейного хода зависит от погрешностей измерения сторон и не зависит от погрешностей измерения углов. В таком случае эту зависимость можно представить в виде функции

L = k d, (22)

где L – длина хода, d – средняя длина стороны в теодолитном ходе, k – число сторон в ходе.

Тогда, для функции одного переменного , можно записать

m_L = m_d , (23)

где m_L и m_d – средние квадратические погрешности длины и измерения отдельной стороны хода соответственно.

Отсюда относительная средняя квадратическая погрешность продольного сдвига последней точки хода будет равна

. (24)

Таким образом, средняя квадратическая погрешность продольного сдвига последней точки вытянутого теодолитного хода возрастает пропорционально корню квадратному из числа сторон, а относительная – уменьшается по тому же закону.

Поперечная средняя квадратическая погрешность хода. Если допустить, что длины сторон хода измерены безошибочно, то погрешность поперечного смещения конца теодолитного хода будет зависеть от длины его сторон и погрешностей измерения углов поворота. Так погрешность m_β в угле β на первом пункте А хода сместит положение последующего пункта 1 в точку 1^/ (рис. 10). Эта же погрешность сместит все остальные пункты хода на угол m_β и конечной точки В на величину ВВ₁, равную

ВВ₁ = = . а)

Далее погрешность m_β измерения угла β на втором пункте 1 сместит положение последующего пункта 2 в точку 2^/ и конечной точки В₁ на величину В₁В₂ равную

В₁В₂ = . б)

А В

В₁

В₂

В₃

Рис. 10. Схема поперечного смещения конца теодолитного хода В₄

под влиянием погрешностей измерения углов

Из анализа полученных поперечных смещений ВВ₁ и В₁В₂ следует,

ВВ₁ = q₁ = .

В₁В₂ = q₂ =

…………………………………

В₂В₃ = q₃ = в)

B_K = q_k = =

Так как погрешности m_β измерения углов носят случайный характер, то для выражения поперечной погрешности m_Q всего хода можно записать

m_Q = √( )² + ( )² + ( )² …( )²

или

m_Q = = . (25)

После преобразований и некоторых упрощений будем иметь

m_Q = . (26)

При некоторых допущениях выражение (26) можно записать в следующем виде

m_Q = = . (27)

Отсюда относительная поперечная погрешность будет иметь вид

. (28)

ъ

Из анализа (27) и (28) следует, что абсолютная поперечная погрешность теодолитного хода возрастает пропорционально k^3/2, а относительная – пропорционально k^1/2. Отсюда вытекает основополага-ющий вывод: чем меньше поворотных точек при проложении теодо-литного хода, тем точнее определяются их положение; соответственно этому устанавливаются минимально допустимые длины сторон теодолитных ходов.

Как правило, теодолитные ходы опираются своими концами на базисные стороны, дирекционные углы которых известны, что позволяет контролировать и уравнивать измеренные углы β, в результате чего их значения уточняются и поперечная погрешность уменьшается. В этом случае погрешность может быть вычислена по формуле

m_Q = . (29)

Если теодолитный ход опирается своими концами на исходные пункты, то очевидно, что наибольшая поперечная погрешность будет в середине хода; величина этой погрешности будет в два раза меньше, чем в висячем ходе, т.е. в ходе, опирающемся на один исходный пункт.

Суммарная оценка точности положения пунктов теодолитного хода. Для общей оценки точности смещения точек теодолитного хода необходимо совместно учитывать и продольный сдвиг точек, и поперечный. Полная погрешность положения пунктов в самом слабом месте теодолитного хода, как правило, вычисляется по формуле

M = . (30)