министерство образования и науки российской федерации владимирский государственный гуманитарный университет кафедра теоретической физики

Сергеева Марина Игоревна

Курсовая работа по физике Фракталы и их свойства по специальности 032200.00-физика с дополнительной специальностью 032100.00-математика

Владимир 2010

Научный руководитель:

доцент Малееев

Андрей Владимирович

Содержание

1. Введение………………………………………………………………………………….3

2. Определение “ фрактал”………………………………………………………..4

   1. Самоподобие…………………………………………………….5

3. Типы фракталов……………………………………………………………………….6

   1. Геометрические фракталы…………………………………7

      1. Снежинка Коха………………………………………7

      2. Ковер Серпинского………………………………..9

      3. L-системы………………………………………………12

3.2 Алгебраические фракталы……………………………….18

3.2.1. Множество Жюлиа……………………………….19

3.2.2. Дерево Фейгенбаума……………………………20

3.2.3. Дерево Фейгенбаума и множество Мандельброта…22

3.3 Стохастические фракталы…………………………………….23

4. Применение фракталов………………………………………………………………...23

5. Заключение…………………………………………………………………………………….25

6. Список литературы…………………………………………………………………………26

1. Введение

Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг - это все фракталы. От представителей древних цивилизаций до Майкла Джексона, ученые, математики и артисты, как и все остальные обитатели этой планеты, были зачарованы фракталами и применяли их в своей работе.

Программисты и специалисты в области компьютерной техники так же без ума от фракталов, так как фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах. Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же революцией в человеческом восприятии мира.

В данной работе передо мной ставились следующие задачи:

- изучение фракталов, их свойств

- способы построения

- применение фракталов в реальном мире

2. Определение “фрактал”

Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно). Фрактал - это такой объект, для которого не важно, с каким усилением его рассматривать в увеличительное стекло, но при всех его увеличениях структура остается одной и той же. Большие по масштабу структуры полностью повторяют структуры, меньшие по масштабу. Так, в одном из примеров Мандельброт предлагает рассмотреть линию побережья с самолета, стоя на ногах и в увеличительное стекло. Во всех случаях получим одни и те же узоры, но только меньшего масштаба. Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.