64.6. Методичні вказівки

Сила взаємодії контурів, в яких струми підтримуються незмінними, виражається формулою

де - енергія контурів зі струмами; х - геометрична координата, що визначає взаємне положення контурів.

Повна енергія системи, що складається з двох контурів із струмами:

Припустимо, що контури жорсткі, тобто =const і = const, і струм в контурах незмінний, причому може змінюватися тільки координата x, що визначає взаємне положення контурів.

Від цієї координати залежить тільки коефіцієнт взаємної індукції M . У такому разі сила взаємодії контурів

(64.1)

Напрям сили взаємодії визначається напрямом струмів в контурах.

Якщо струми мають протилежні напрями, в правій частині цей вираз отримує знак ,,+", тобто контури відштовхуються. У цьому випадку електромагнітна сила прагне збільшити координату х, і пов'язана з обома контурами магнітна енергія зменшується.

У разі однакового напряму струмів права частина рівності матиме знак ,,-“ і картина буде обернена.

З формули (64.1) виходить, що для визначення сили взаємодії контурів залежно від координати х необхідно знати функцію .

Рис. 64.2

Простежимо за виводом формули для коефіцієнта взаємної індукції двох кругових контурів з достатньо великими радіусами і , що лежать в паралельних площинах, та що мають центри на загальній осі (рис. 64.2).

Для простоти зробимо припущення, що струми в контурах незмінні, перетини проводів зникаючи малі, обидва контури знаходяться в порожнечі на значно більшій відстані один від одного, порівняно з поперечним перетином контурів.

Допустимо також, що струм протікає тільки по першому контуру і має значення . По другому контуру струм не протікає.

Тоді векторний потенціал поля, створеного струмом , в якій-небудь крапці на осі другого контура визначається по формулі:

де - відстань від елементу , першого контура до крапки на осі другого контура, в якій визначається . Інтегрування здійснюється уздовж всього контура із струмом.

Унаслідок симетрії щодо осі ox лінії векторного потенціалу повинні бути колами, що лежать в площинах, паралельних площині контура зі струмом, і що мають центри на осі ox.

Векторний потенціал скрізь направлений по дотичній до цих кіл, тобто має єдину складову

З рис. 64.2 видно, що

тоді

Приведемо цей інтеграл до еліптичного інтегралу з наміром вирішити його за даними для еліптичних інтегралiв таблицями.

Для цього положення:

причому ,

значення К=1 виходить при х = 0 і , тобто коли контури зливаються один з одним. У такому разі А₂=∞ , але це неможливо, оскільки насправді контури мають кінцеві розміри.

Таким чином, спрощена формула для визначення А₂ придатна тільки для відстаней, значно більших, ніж поперечні перетини провідників.

Маємо

r= ,

З цього слідує,

А₂=-

Користуючись рівністю

,

можна написати

А₂= -

Де

k=

Величини E і k є повними еліптичними інтегралами першого та другого роду. Вони є функціями модуля k.

На рис. 64.3, 64.6 зображені криві, що виражають ці функції, і криві, що дають величину f(k).

Рис. 64.3

Рис. 64.4

Рис. 64.5

Рис. 64.6

Остаточний вираз для векторного потенціалу можна записати:

A₂= f(k),

де

f(k) = ( ) k E.

Примітка. Залежно від значення k² слід користуватися тій або іншій кривій для отримання найбільшої точності.

Ми припустили, що струм протікає в першому контурі, а струм в другому контурі відсутній. Тоді виникає потік,що оточує перший контур. Частина магнітних ліній цього потоку зчіплюватиметься з другим контуром, і загальне число їх утворить потік взаємоіндукції ψ₂₁ , який пов'язаний із струмом співвідношенням ψ₂₁=М₂₁I₁, Тут перший індекс вказує, з яким контуром розглядається зчеплення потоку, другий – яким струмом обумовлений потік.

Для двох відокремлених контурів при умові, що магнітна проникність середовища не залежить від напруженості поля, має місце рівність М₁₂=М₂₁ і звідси слідує,що при цих умовах можна опустити індекси при

М=

Таким чином, коефіцієнт взаємної індукції двох контурів чисельно рівний повному потоку взаємної індукції, що зчіплюється з одним контуром, коли струм в іншому контурі рівний одиниці.

Беручи до уваги, що ми розглядаємо одновиткові контури, потік взаємоіндукції, що зчіплюється з другим контуром, можна знайти шляхом інтегрування векторного потенціалу уздовж осі цього контура

Ф₂₁=

Оскільки вектор А всюди дотичний до другого контура і має постійне значення вздовж цього контура, то

.

Використовуючи вираз для a₂, отримуємо

Ф₂₁= .

Насправді ми маємо не одновиткові контури,а котушки з числом витків W₁ і W₂ . Отже струм I₁ протікає по W₁ витках, і поле посилюється в W₁ раз в порівнянні з полем одного витка. Тоді, потік взаємної індукції, що зчіплюється з одним витком другої, котушки:

Ф₂₁=μ₀I₁W₁

Повне число потокозчеплень зі всіма W2 витками другої котушки:

Таким чином, взаємна індуктивність двох круглих котушок виражається формулою

M=

При оформленні роботи слід врахувати, що котушки в лабораторному пристрої сполучені послідовно і так, що струми в них мають різні напрями I₁ = -I₂= I , значить вимірюється сила відштовхування котушок F= -I² .

Криву M=ψ(x) будують, користуючись формулами:

M=μ₀W₁W_{2 ,}

причому

k²=

Значення f(к) можна відшукати по кривим залежності f(к) від квадрата модуля еліптичних інтегралів k² (див. рисунок 64.4 - 64.6). Розрахунок спрощується тим, що в лабораторії R₁=R₂=R і W₁=W₂=W

Отже

M=μ_0*W² R f(k), k=

Крива може бути отримана графічним диференціюванням кривої M=ψ(x). Приклад графічного диференціювання приведений далі.

Припустимо, що у нас є крива N=f(x) і ми хочемо отримати криву =f₁(x) (рис.64.7). З цією метою вибираємо достатньо великий відрізок ОХ і розбиваємо його на n рівних проміжків ∆X.

Рис. 64.7

Визначаємо на кожному інтервалі ∆х приріст величини ∆Nі, знайшовши їх відношення , отримаємо значення похідної в середній точці даного інтервалу (крапка а на інтервалі ∆X1,і так далі).Відкладаємо отримане значення похідної в середній точці кожного інтервалу і, сполучаючи кінці ординат А, В і так далі, отримуємо криву

Міністерство освіти і науки України

Національно технічний університет України

«Київський політехнічний інститут»

Лабораторна робота №65

ДОСЛІДЖЕННЯ ВЗАЄМНОЇ ІНДУКТИВНОСТІ КРУГЛИХ І ПРЯМОКУТНИХ ПЛОСКИХ КОТУШОК

Виконав:_________

_________________

Перевірив:________

_________________

Київ-2009

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 65

ДОСЛІДЖЕННЯ ВЗАЄМНОЇ ІНДУКТИВНОСТІ КРУГЛИХ І ПРЯМОКУТНИХ ПЛОСКИХ КОТУШОК

65.1. Короткий зміст роботи

В процесі виконання роботи студент знайомиться:

1. з визначенням балістичної постійної гальванометра, використовуючи котушки із заданим коефіцієнтом взаємоіндукції;

1. з визначенням взаємної індуктивності круглих і прямокутних котушок;

2. з побудовою експериментальних і розрахункових кривих зміни взаємній індуктивності від відстані між котушками.

65.2. Підготовка до роботи

При підготовці до роботи необхідно:

1. Скласти протокол звіту по лабораторній роботі.

2. Ознайомитися з робочим завданням і методичними вказівками.

3. Відповісти на наступні питання:

а) чому потрібно визначати постійну гальванометра експериментально?

б) чим визначається потік взаємоіндукції плоских котушок?

в) як виразити потік взаємної індукції через векторний магнітний потенціал?

г) чому запропонований метод досліджень застосовний тільки для плоских котушок?

д) співвідношення між потоком взаємоіндукції двох котушок і потокозчепленням взаємоіндукції цих же котушок.

е) основні рівняння, що описують стаціонарне магнітне поле.

65.3. Опис лабораторної установки

Живлення досліджуваних ланцюгів здійснюється від джерела постійного струму через потенціометр. Міліамперметр магнітоелектричної системи через трипозиційний перемикач може підключатися до однієї з первинних обмоток досліджуваної або зразкової пари котушок. Вторинні обмотки досліджуваної і зразкової котушок сполучені послідовно і підключаються до балістичного гальванометра. Досліджувані котушки як круглі, так і прямокутні можна переміщати один щодо одного в паралельних площинах.

66.4. Робоче завдання

I. Зібрати схему рисунок 65.1. За досліджувані котушки взяти та включити круглі котушки.

Рисунок 65.1

2. Визначити балістичну постійну гальванометра по зразкових магнітно-зв'язаних котушках з відомим коефіцієнтом взаємоіндукції М по трьом вимірюванням для трьох значень струму: 20, 40 і 60 мА

і взяти середнє значення постійної С, тут α - відхилення світлового зайчика, мм.

3. Визначити коефіцієнт взаємної індукції спочатку для круглих,а потім для прямокутних котушок, змінюючи відстань між котушками при незмінному струмі:

.

4. За даними вимірювань підрахувати коефіцієнт взаємоіндукції.

5. Визначити коефіцієнт взаємоіндукції для круглних і прямокутних котушок за допомогою розрахунку магнітного поля.

6. Побудувати залежності М=ƒ(х) для круглих і прямокутних котушок в одному масштабі на двох графіках попарно - експериментальні і розрахункові.

7. Порівняти досвідчені і розрахункові дані, зробити висноски по виконаній роботі і записати у протокол.

65.5. Завдання для учбово-дослідної роботи

1. Визначити погрішність, яка виходить заміною котушки кінцевого перетину контуром, радіус якого рівний середньому радіусу котушки. Для цього визначити коефіцієнт взаємної індукції для двох крайніх витків круглої котушки - зовнішнього і внутрішнього і порівняти з отриманим в розрахунку результатом.

2. З'ясувати, як змінюється погрішність із зміною відстані між котушками.

65.6. Методичні вказівки

Знайдемо вирази для взаємної індуктивності круглих котушок. З огляду на те, що лінійні розміри перерізів котушок малі в порівнянні з радіусами котушок, ми не отримаємо великої погрішності, якщо замінимо котушки тонкими круговими контурами, що проходять через центри перерізів. В остаточній формулі доведеться врахувати, що котушки мають W1 та W2 витків. Спочатку припустимо, що кожний круговий контур є одним витком. Нехай R₁ і R₂ радіусів цих кругових контурів (рисунок 65.2).

Потрібно розрахувати потік ψ_2M, що оточується з другим контуром, при проходженні струму I₁ по першому контуру.

Зв'язок між магнітним потоком Ф пронизуючим деяку поверхню S, і векторним потенціалом має вигляд

де - елемент довжини контура, що описує поверхню S.

Рисунок 65.2

Знайдемо векторний магнітний потенціал. Усякий вектор може бути представлений як вихор іншого вектора. Тому вектор магнітної індукції може бути виражений через вектор , якщо останній вибрати, таким чином, що рівняння даного магнітного поля

(65.1)

(65.2)

(65.3)

залишаються справедливими.

Якщо , то, підставляючи його значення в рівняння поля (65.1), (65.2) і (65.3), можна знайти значення вектора .

Рівняння (65.3) задовольняється при будь-якому значенні так як расходимость ротора вектора завжди рівна нулю. Отже, вектор потрібно шукати з рівнянь (65.1) і (65.2).

Перемножуючи рівняння (65.1) на і використовуючи вираз (65.2), отримаємо

rot ; rot rot

Для осі ОХ

rot_x ; rot rot ²A_x=μ₀δ_x

Розв’язком цього рівняння є

A_x=

Аналогічно для А_у і А_z

A_y=

=

Або

Векторний потенціал А₂ в деякій точці на осі другого контура при протіканні струму I₁ по першому контуру визначається з виразу

А₂=

де μ₀ – магнітна проникність середовища, що оточує контури; - век­тор густини струму в центрі елемента обєму першого контура, V₁-об’єм першого контура, r- відстань від до точки, в якій визначається А₂ . Допускаємо, що в цьому середовищі відсутні феромагнітні тіла.

З огляду на те, що лінійні розміри поперечного перетину S₁, першого контуру вельми малі в порівнянні з радіусом R₁ самого контура, можна обмежитися розділенням об'єму цього контура тільки по довжині на нескінченно малі відрізки dl₁ і представити dV₁ у вигляді

У такому разі маємо

де інтегрування проводиться вздовж всього першого контура.

Унаслідок симетрії щодо осі OX лінії векторного потенціалу повинні бути колами, лежачими в площинах, паралельних площині контура струму, і що мають центри на осі OX. Векторний потенціал усюди направлений по дотичній до цих кіл, тобто має єдину складову

A₂=A_2α=

Так, як

R=

То

A₂=

Цей інтеграл приводиться до табличних еліптичних інтегралів. Допустимо

α=π-2β;

Число k лежить в межах 0≤К≤1. Значення k=1 виходить при x=0 і R₁=R₂ , тобто коли контури зливаються один з одним. При цьому А₂ звертається в нескінченність. Проте насправді повне поєднання контурів неможливе, оскільки переріз дійсних котушок зкінченний.

Маємо

cosα= -cos2β= 2sin² -1

r= .

Відповідно,

А₂= - =

Отже користуючись рівністю

Можна записати

A₂= ,

де позначено

k=

Величини К і Е являють собою повні еліптичні інтеграли першого і другого роду. Кінцевий вираз для векторного потенціалу можна представити в вигляді

A₂=

де f(к) - функція модуля k ,

f(k) = ( )*k -

Потік взаємної індукції Ф_2м, що з’єднується з другим контуром, може бути отриманий інтегруванням векторного потенціалу вздовж осі цього контура

Ф_2м=

Так як вектор всюди дотикається до другого контура і має постійне значення вздовж цього контура, то

Ф_2м= =

Ф_2м=μ_0*I_{1* .}

Насправді ми маємо не одновиткові контури, а котушки з числами витків W₁ і W₂ . Та обставина, що перша котушка складається з W₁ витків, в кожному з яких протікає струм I₁ приводить до посилення поля в W₁ раз в порівнянні з полем одного витка. Отже, потік взаємної індукції, що зчіплюється з одним витком другої котушки:

Ф_2м=μ₀I₁W₁

Повне число потокозчеплень з усіма W₂ витками другої котушки:

Ψ_2м=Ф_2мW₂=μ₀I₁W₁W₂

Таким чином, шукана взаємна індуктивність виражається формулою:

М= μ₀W₁W₂

Для розрахунку взаємної індуктивності прямокутних котушок замінюємо ці котушки тонкими прямокутними контурами, сторони яких проходять через центри перерізів обмоток дійсних котушок. Позначимо довжини сторін прямокутників через а і b. Обидва прямокутники однакові і розташовані один щодо одного так, що всі їх сторони або взаємно паралельні, або взаємно перпендикулярні . Допустимо спочатку, що кожен контур складається з одного витка. Для розрахунку взаємної індуктивності М' таких контурів природно скористатися методом відрізків. Розбиваємо кожен контур на чотири прямолінійні відрізки відповідно числу сторін. Хай К- порядковий номер відрізків першого контура і Р- порядковий номер відрізків другого контура, тоді маємо:

М’=

де Мкр є взаємною індуктивністю між k -м відрізком першого контура і Р – м

відрізком другого контура; l_k і l_p довжини

цих відрізків, dl_k і dl_p - елементи довжин; v- кут між дотичними до контурів в точках, в яких беруть елементи довжини dl_k і dl_p ; r –відстань між цими точками.

Якщо відрізки прямолінійні, cosv залишається постійним уздовж відрізків і може бути винесений за знак інтеграла. Отримуємо

M_кр = .

Користуючись методом аналогії з електростатичним полем, запишемо

М_кр = μ₀ε₀l_kl_pcosv*α_{кр ,}

де α_кр - взаємний потенціальний коефіцієнт між такими ж відрізками, вирахуваний по наближеному методу, основаному на припущенні рівномірності розподілу заряду вздовж відрізків. При обрахуванні М_кр отримуємо не наближений, а точний результат, оскільки струм в реальності однаковий вздовж відрізків. Для визначення cosv задамося позитивними напрямами обходу контурів. Виберемо для обох контурів позитивні напрями обходу однаковими. В результаті розрахунку отримаємо М'>0. Проте окремі складові Мкр матимуть рівні знаки.

Для паралельних відрізків маємо cosv=1 , якщо напрями обходу в обох відрізках однакові, і cosv=-1, якщо вони протилежні.

Для всіх взаємно перпендикулярних відрізань cosv = 0 і М_кр=0.

При вказаному взаємному розташуванні двох однакових прямокутних контурів всі взаємно паралельні відрізки мають однакові довжини a або b.Всі ці відрізки один щодо одного розташовані так, що їх початки лежать на одному загальному до них перпендикулярі.

Користуючись аналогією між формулою для взаємної індуктивності прямолінійних відрізків і формулою взаємного потенційного коефіцієнта цих відрізків:

M_кр = ,

α_кр = ,

отримуємо для паралельних відрізків:

M_кр = ± ,

або

M_кр = ±

де l - довжина відрізків; D - відстань між ними і довжина діагоналі між протилежними кінцями двох відрізків.

У досліджуваному випадку l дорівнює або а або b , D рівне або х або або Оскільки досліджувані котушки мають W₁ i W₂ витків, взаємна індуктивність між ними

M=W₁W₂ М’ ,

де М’- взаємна індуктивність між одновитковими прямокутними контурами.

Щоб провести розрахунок, необхідно зняти всі необхідні розміри котушок.

Далі обчислимо, користуючись приведеними формулами, взаємну індуктивність М для ряду значень X, що лежать в тому ж інтервалі, в якому отримані дослідні дані. Побудуємо криві M=f(x) на підставі розрахункових даних. На ці ж діаграми нанесемо крапки, знайдені шляхом вимірювань, і будуємо по ним дослідні криві.

Причиною деякої розбіжності дослідних і розрахункових кривих, окрім неминучих погрішностей вимірювань, може з'явитися зроблена при розрахунку заміна котушок з скінченним перерізом обмоток еквівалентними вельми тонкими контурами. Очевидно, погрішності, що виникають в результаті такого спрощення, матимуть найбільше значення при малих відстанях X між котушками. Якщо вимірювання і розрахунок виконані з належною ретельністю, зіставлення дослідних і розрахункових кривих дає критерій допустимості такого спрощення при розрахунку.

[2c.121-130].

1. Нейман Л.Р., Демірчян К.С. Теоретичні основи електротехніки. - Л.Енергоїздат, 1981. Т.2. - 415 с.

Нейман Л.Р., Демірчян К.С., Юрінов В.М. Керівництво до лабораторії електромагнітного поля. -Висш.шк., 1966. - 207 с.

73