Семінарське заняття 21

Тема 18. Дискретні випадкові величини. Тема 19. Неперервні випадкові величини

Питання для усного опитування та дискусії

18.1. Дискретна випадкова величина, її закон розподілу.

18.2. Приклади дискретних випадкових величин.

18.3. Математичне сподівання дискретної випадкової величини, його імовірнісний зміст.

18.4. Дисперсія, середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини.

19.1. Неперервна випадкова величина, її функція розподілу. Властивості функції розподілу.

19.2. Щільність розподілу, її властивості.

19.3. Числові характеристики неперервних випадкових величин.

19.4. Приклад випадкової величини змішаного типу.

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : дискретна випадкова величина, неперервна випадкова величина, випадкова величина змішаного типу, математичне сподівання та його властивості, дисперсія та її властивості, середнє квадратичне відхилення, функція розподілу, щільність розподілу.

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

Дискретні випадкові величини, їх характеристики.

1. Випадкова величина. Закон розподілу дискретної випадкової величини.

Випадковою називається величину, яка в результаті випробування прийме одне і тільки одне можливе значення, залежне від випадкових причин. Випадкові величини позначають великими латинськими буквами , а їх значення – відповідними малими буквами .

Дискретною називають випадкову величину, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями.

Наприклад, кількість правильних відповідей на три питання деякої вікторини – це дискретна випадкова величина , яка приймає чотири значення: .

Неперервною називають випадкову величину, яка може приймати всі значення з деякого скінченого проміжку (число можливих значень неперервної випадкової величини нескінченне).

Наприклад, відстань від центру мішені до центру кулі, що влучила у мішень – неперервна випадкова величина.

Щоб задати дискретну випадкову величину, потрібно назвати всі її можливі значення і вказати їх ймовірності.

Закон розподілу (ряд розподілу) дискретної випадкової величини – це відповідність між можливими значеннями та їх ймовірностями.

Закон розподілу дискретної випадкової величини може бути заданий у вигляді таблиці, перший рядок якої містить можливі значення , а другий – ймовірності (і=1,2, ,п ):

			...
			...

При цьому . (Якщо множина значень нескінченна, то ряд збігається до одиниці).

Закон розподілу дискретної випадкової величин можна зобразити графічно. Для цього в прямокутній системі координат будуть точки та з’єднують їх відрізками прямих. Одержану фігуру називають многокутником розподілу.

Закон розподілу дискретної випадкової величини може бути заданий у виді формули – аналітично: або за допомогою інтегральної функції.

2. Приклади дискретних випадкових величин та їх законів розподілу.

Приклад №1. Проводиться незалежних випробувань. В кожному випробуванні подія А може з’явитися з однією і тією ж самою ймовірністю . Позначимо через число появ події А у цих випробуваннях. Це – випадкова величина. Задамо закон її розподілу:

	0	1	...		...
			...		...

Ймовірність появи подій в випробуваннях визначається за формулою Бернуллі:

.

Такий розподіл називається біномним.

Якщо, скажімо, гральний кубик підкинуто тричі та нас цікавить закон розподілу випадкової величини – числа випадань чотирьох очок, то біномний розподіл має вигляд ( ):

	0	1	2	3

Приклад №2. Якщо проводяться випробування за схемою Бернуллі, причому число – велике, а – мале, то, як відомо, для обчислення слід користуватися формулою Пуассона

,

де – середнє число появ події в різних серіях випробувань. Одержуємо закон розподілу Пуассона ймовірностей масових рідкісних подій.

Зауважимо, що Пуассон вивчав потоки подій – послідовності подій, які з’являються у випадкові моменти часу. Найпростішим (пуассонівським) називається потік подій, який має наступні властивості:

а) стаціонарність: ймовірність появи подій на будь-якому проміжку часу не залежить від початку відліку, а залежить тільки від і ;

б) відсутність післядії: ймовірність появи подій на будь-якому проміжку часу не залежить від того, з’являлися чи ні події в момент часу, що передує початку даного проміжку;

в) ординарність: поява двох і більшого числа подій за малий проміжок часу практично неможлива.

Інтенсивністю потоку називається середнє число подій, які з’являються протягом одиниці часу.

Для найпростішого потоку подій має місце формула:

.

Приклад №3. Нехай проводяться незалежні випробування, у кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює . Випробування закінчуються, як тільки з’явиться подія А.

Позначимо через число випробувань, які потрібно провести до першої появи А. Це – дискретна випадкова величина, яка може приймати значення . Ймовірність того, що , дорівнює ; що , дорівнює , і т.д. Ймовірність того, що , дорівнює . Одержуємо такий розподіл:

	1	2	...		...
			...		...

Цей розподіл називають геометричним.

Приклад №4. Нехай в партії з виробів є стандартних . З партії випадково відібрано виробів. Потрібно скласти закон розподілу дискретної випадкової величини – числа стандартних виробів серед відібраних.

Випадкова величина може приймати значення . Ймовірність того, що , визначаємо за формулою

.

Одержаний розподіл називають гіпергеометричним розподілом ймовірностей. Він визначається трьома параметрами – . При гіпергеометричний розподіл близький до біномного.

3. Математичне сподівання дискретної випадкової величини, його зміст та властивості.

Якщо закон розподілу дискретної випадкової величини невідомий, користуються числовими характеристиками випадкової величини, які описують цю величину сумарно - математичним сподіванням, дисперсією, середнім квадратичним відхиленням.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума добутків всіх її можливих значень на їх ймовірності:

.

Таким чином, математичне сподівання дискретної випадкової величини – величина стала.

Якщо, наприклад, – число появ події в одному випробуванні, то закон розподілу має вигляд

	0	1

При цьому .

Термін “математичне сподівання” пов’язаний з азартними іграми. Якщо гравець раз вигравав суму , раз – раз – , то середня величина виграшу в одній з партій ( ) визначається так:

,

де – відносна частота значення . При . Таким чином,

.

Отже, математичне сподівання наближено дорівнює (тим точніше, чим більше ) середньому арифметичному значень випадкової величини. З точки зору азартного гравця математичне сподівання виграшу – це середнє значення очікуваного виграшу.

Користуючись означенням математичного сподівання, можна довести його основні властивості.

1. Математичне сподівання сталої величини дорівнює самій сталій: .

2. Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання: .

3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань.

.

Аналогічна властивість має місце щодо добутку кількох взаємно незалежних випадкових величин.

4. Математичне сподівання суми двох випадкових величин (як незалежних, так і залежних) дорівнює сумі математичних сподівань доданків: .

Аналогічна властивість має місце для суми кількох випадкових величин.

Приклад №5. Нехай проводиться незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події А постійна і дорівнює . Визначимо середнє число появ події А у цих випробуваннях.

Нехай – число появ події А в випробуваннях; – число появ події А в 1-му випробуванні; – в другому, ..., – в -ому випробуванні. Загальне число появ події А визначається рівністю

.

Отже, .

Таким чином, математичне сподівання числа появ події А в незалежних випробуваннях дорівнює добуткові числа випробувань на ймовірність появи події в кожному випробуванні: .

Приклад №6. Двоє робітників різної кваліфікації працюють на однакових машинах. Числа та бракованих виробів за деякий інтервал часу у кожного робітника є незалежними випадковими величинами з такими законами розподілу:

	0	1	2

	0	1	2

Скласти закон розподілу для загального числа бракованих виробів та середнього їх числа , а також визначити відповідні математичні сподівання.

Щоб розв’язати сформульовану задачу, складемо закон розподілу для загальної кількості бракованих виробів:

	0	1	2	3	4

Закон розподілу середнього числа бракованих виробів:

	0		1		2

Математичні сподівання і можна знайти, користуючись означенням математичного сподівання.

Ми розв’яжемо цю задачу, користуючись властивостями математичного сподівання:

.

Маємо:

;

.

Отже,

;

.