3. Теорема множення ймовірностей залежних подій.

Вивчаючи ймовірності випадкових подій, ми вважали, що ці події можуть відбуватися чи ні при виконанні комплексу умов . Якщо ніяких інших обмежень, крім , не накладається, то ймовірність випадкової події називають безумовною. В противному випадку говорять про умовну ймовірність.

Означення. Умовною ймовірністю називається ймовірність події В, обчислена в припущенні, що подія А вже з’явилась.

Сформулюємо теорему множення ймовірностей.

Теорема. Ймовірність сумісної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої, обчислену в припущенні, що перша подія вже з’явилась:

.

Оскільки , то і, отже, .

Наслідок. Ймовірність сумісної появи декількох подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умові ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже з’явились:

.

Зокрема, при , позначивши , , , одержимо:

.

Наприклад. Студент, який прийшов на екзамен добре вивчив 90 із 100 питань програми. Знайти ймовірність того, що цей студент знає відповіді на 3 питання, задані йому екзаменатором.

Розв’язок. Нехай подія А полягає в тому, що студент правильно відповість на перше питання, В – на друге, С – на третє питання.

Знаходимо: ; ; . Маємо: .

4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій.

Вивчимо питання про незалежні події та про теорему множення для незалежних подій.

Означення. Подія В називається незалежною від події А, якщо поява події А не змінить ймовірність події В, тобто якщо умовна ймовірність події В дорівнює її безумовній ймовірності: .

Властивість незалежності подій взаємна: якщо подія В не залежить від події А, то і подія А не залежить від події В. Дійсно, оскільки і , то . Отже, .

Теорема множення ймовірностей для незалежних подій має вигляд:

.

Зауважимо, що коли події А та В незалежні, то будуть незалежними також події , , .

Розглянемо такі приклади.

№1. Ймовірність того, що фірма А отримає кредит, дорівнює . Для фірми В ця ймовірність дорівнює . Знайти ймовірність того, що кредит отримає тільки одна з цих двох фірм.

Розв’язок. Подія “тільки одна фірма отримає кредит” є сумою двох несумісних подій: “фірма А отримає кредит, а фірма В – ні” (перша подія) та “фірма А не отримає кредит, а фірма В – отримає” (друга подія).

Ймовірність першої з цих подій визначається як , а другої – як

.

Таким чином, шукана ймовірність дорівнює .

Означення. Декілька подій називаються попарно незалежними, якщо кожні дві з цих подій незалежні.

Декілька подій називаються незалежними в сукупності (або просто незалежними), якщо незалежні кожні дві з них та незалежні кожна подія та всі можливі добутки інших подій.

Виявляється, що коли декілька подій незалежні попарно, то звідси ще не випливає їх незалежність в сукупності.

Наприклад. В групі з чотирьох спортсменів один – волейболіст (подія А), один – баскетболіст (подія В), один – футболіст (подія С), а один – і волейболіст, і баскетболіст, і футболіст (подія АВС).

Знайдемо ймовірність того, що взятий навмання спортсмен – волейболіст ).

Маємо: . Обчислимо також – ймовірність того, що взятий навмання баскетболіст є волейболістом. Згідно з умовою, маємо: . Таким чином, . Аналогічно доводиться, що всі події попарно незалежні. Але, виявляється, події не є незалежними в сукупності, оскільки (якщо спортсмен є баскетболістом і футболістом, то він – ще і волейболіст) і, отже, .

Для подій, незалежних в сукупності, має місце така теорема.

Теорема. Ймовірність сумісної появи кількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює добуткові ймовірностей цих подій:

.

Наприклад. Ймовірність того, що студент знає відповідь на перше питання екзаменаційного білету, дорівнює , на друге – , на третє – . Знайти ймовірність того, що студент знає відповідь тільки на одне питання екзаменаційного білета.

Розв’язок. Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що студент знає відповідь на перше питання білета, В – на друге, С – на третє. Подію D – “студент знає відповідь тільки на одне питання” можна представити у вигляді суми трьох несумісних подій:

.

Згідно з теоремою додавання ймовірностей несумісних подій, маємо:

.

Кожну з ймовірностей в правій частині цієї рівності можна знайти, користуючись теоремою множення ймовірностей незалежних подій.

Маємо: ;

;

.

Отже,