5. Статистична ймовірність.
Класичне означення ймовірності не завжди придатне для обчислення ймовірностей різних подій. Часто незрозуміло, коли випадкові події можна вважати рівноможливими.
Наприклад, народження хлопчика чи дівчинки – не рівноможливі події, оскільки хлопчиків народжується більше ніж дівчаток. Класичним означенням неможливо користуватися і тоді, коли число елементарних результатів випробувань нескінченне (тоді вводять геометричну ймовірність). Не завжди результат випробування можна представити у вигляді сукупності елементарних подій. Тому, поряд з класичним, використовують статистичне означення ймовірності, яке ми розглянемо нижче.
Відносною
частотою події
називається відношення числа випробувань,
в яких подія з’явилась, до загального
числа проведених випробувань:
,
де
– число появ події,
– загальне число випробувань.
Зауважимо, що класична ймовірність події обчислюється теоретично, а відносна частота події – після випробування.
Виявляється,
що в різних випробуваннях відносна
частота мало
змінюється (при досить великих
),
коливаючись навколо деякого сталого
числа. Це стале число приймають за
статистичне
означення ймовірності.
Отже, щоб статистична ймовірність
існувала, потрібна принципова можливість
проводити необмежене число випробувань,
а також стійкість відносної частоти
появи події А в різних серіях досить
великої кількості випробувань. Недоліком
статистичної ймовірності є її неточність,
неоднозначність.
6. Геометрична ймовірність.
Якщо число результатів випробувань нескінченне, то вводять геометричну ймовірність – ймовірність попадання точки в певну область (на відрізок, частину площини).
Нехай на відрізок
L навмання
ставлять точку А; ймовірність
попадання цієї точки на відрізок
пропорційна його довжині та не залежить
від розміщення відрізка. Тоді, за
геометричним означенням, покладаємо:
(тут
та L – довжини
відповідних відрізків).
Якщо ж точка падає
в область
площини, то вона може при цьому опинитись
в деякій підобласті
.
Нехай ймовірність попадання точки в
пропорційна площі
і не залежить ні від розміщення, ні від
форми підобласті
.
Тоді
,
де
– площа підобласті, а
– площа області
.
Приклад. (задача Бюффона – 18 століття).
Площина розграфлена
паралельними прямими, які знаходяться
на відстані
одна від одної. На площину навмання
кидають голку довжиною
.
Знайти ймовірність того, що голка перетне
яку-небудь пряму.
Розв’язок.
Нехай
– відстань від середини голки до
найближчої паралелі
,
а
– кут між голкою та цією паралеллю (
)
(рис.
).
Середина голки може попасти в будь-яку
з точок прямокутника із сторонами
і
– отже, цей прямокутник можна розглядати
як фігуру
;
площа
дорівнює
.
Визначимо фігуру
,
кожна точка якої відповідає середині
голки, яка перетне найближчу до неї
паралель. Голка перетне найближчу
паралель, якщо
.
Отже, маємо:
,
де
– площа фігури
.
Таким чином, ймовірність
того, що голка перетне паралель, дорівнює:
.
За допомогою
одержаної формули можна наближено
обчислити число
(експериментально). Підкидаючи голку
разів і підрахувавши, що
разів вона перетне одну з прямих, з
врахуванням статистичного означення
ймовірності будемо мати:
(
– досить велике). Звідси
одержуємо:
.
Один з експериментаторів при
одержав, що
.