2. Метрические задачи
(решаются в прямоугольной декартовой системе координат О )
19. Найти канонические
уравнения прямой
,
проходящей через точку
и перпендикулярной прямым
и
.
20. Найти величину угла между прямыми:
а)
и
б)
и
21. Выяснить, будут
ли прямые
и
взаимно перпендикулярными:
а)
;
б)
Перечень типовых задач по теме «Прямые и плоскости в пространстве»
Предварительно необходимо:
● изучить §§ 26 (п. 2), 27 (п. 3, 4) по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии, а также знать материал §§ 20 – 22, 24 (п. 1), 25;
● ответить на контрольные вопросы и выполнить в тетрадях для практических занятий все контрольные задания из пункта I занятия 14 (см. методическое пособие [1]);
● ознакомиться с решениями всех задач из пункта II занятия 14.
1. Аффинные задачи
(решаются в аффинной системе координат О )
22. Найти уравнение
плоскости
,
проходящей через точку
и параллельной прямым
и
23. Найти уравнение
плоскости
,
содержащей прямую
и параллельной прямой
.
24. Найти уравнение
плоскости
,
содержащей прямые
и
.
25. Найти уравнение
плоскости
,
содержащей прямые
и
.
26. Найти уравнение
плоскости
,
проходящей через точку
и содержащей прямую
27. Найти уравнение
плоскости
,
содержащей прямую
и параллельной прямой
.
28. Найти уравнение
плоскости
,
проходящей через точки
и
и параллельной прямой
.
29. Выяснить взаимное
расположение прямой
и плоскости
:
а)
;
;
б)
;
в)
;
г)
;
.
2. Метрические задачи
(решаются в прямоугольной декартовой системе координат О )
30. Найти уравнение
плоскости
,
проходящей через точку
и перпендикулярной прямой
.
31. Найти уравнение
прямой
,
проходящей через точку
и перпендикулярной плоскости
.
32. Найти уравнение
плоскости
,
проходящей через точку
,
параллельной прямой
и перпендикулярной плоскости
.
33. Найти уравнение плоскости , содержащей прямую и перпендикулярной плоскости .
34. Найти синус угла
между прямой d:
и плоскостью σ:
.
35. Выяснить, будут ли прямая и плоскость взаимно перпендикулярными:
а)
б)
;
.
Перечень типовых задач по теме «Эллипс»
Предварительно необходимо:
● изучить § 28 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии, выучить все определения, формулировки свойств, формулы и уравнения;
● ответить на контрольные вопросы и задания I.1 – I.6 занятия 15 (см. методическое пособие «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»);
● ознакомиться с решением задачи II.2 занятия 15.
Задачи
(решаются в прямоугольной декартовой системе координат О )
36. Дано каноническое
уравнение эллипса
.
Найти большую и малую полуоси, фокальное
расстояние, координаты вершин, фокусов,
эксцентриситет, уравнения директрис,
фокальные радиусы точки
и выполнить чертеж эллипса, его фокусов
и директрис, если:
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
.
37. Найти каноническое уравнение эллипса и выполнить чертеж эллипса, его фокусов и директрис, если известно, что:
а) фокальное расстояние равно 6, а большая полуось равна 5;
б)
малая полуось равна 3, уравнения директрис
,
;
в)
малая полуось равна 4, эксцентриситет
равен
;
г)
эллипс проходит через точку
,
эксцентриситет равен
.
38. Меридиан Земного шара имеет форму эллипса, отношение осей которого равно 299 : 300. Определить эксцентриситет земного меридиана.
39. Орбита Земли
относительно Солнца – эллипс с полуосью
млн. км и эксцентриситетом
.
Найти разность максимального и
минимального расстояний от Земли до
Солнца, если Солнце находится в одном
из фокусов орбиты Земли.
40.Масимальное удаление ракеты от поверхности Земли – 197 млн. км, минимальное – 147 млн. км. Составить уравнение траектории движения ракеты, если она движется вокруг Земли по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Земля.
41. Орбита космической ракеты представляет собой эллипс, эксцентриситет которого равен 0,14. Найти отношение полуосей этого эллипса.
42. Земля движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Наименьшее расстояние от Земли до Солнца равно приблизительно 147500000 км, а наибольшее – 152500000 км. Найти большую полуось и эксцентриситет орбиты Земли.