Перечень типовых задач по теме «Скалярное произведение векторов. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат»

Предварительно необходимо:

● изучить §§ 6, 10, 11 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;

● выполнить в тетрадях для практических занятий следующие практические задания из методического пособия [1]: занятие 7, №№ I.1– I.15; занятие 8, №№ I.1 – I.3; I.5 − I.16;

● ознакомиться с решениями задач: занятие 7, №№ II.1, II.3, II.5; занятие 8, №№ II.1, II.2, II.4.

Задачи

16. Вычислить скалярное произведение векторов и , если и угол между векторами и равен 120º.

17. При каком значении m векторы (6; 0; 12) и (−8; 13; m) ортогональны?

18. Найти длину вектора , если а) ; б)  (2; −2), (1; −2).

19. Выяснить, каким является треугольник АВС (остроугольным, прямоугольным или тупоугольным), если (1; 4), (5; −8).

20. В четырёхугольнике АВСD (2; 0), (−5; 3), (10; 1). Выяснить, будут ли диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.

21. Известно, что . При каком значении х векторы и перпендикулярны?

22. Доказать векторным методом, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

23. О − точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Найти: а) координаты точки D в системе координат ;

б) координаты точки А в системе координат .

24. Даны три вершины параллелограмма АВСD: А(1; 0), В(2;3), С(3;2). Найти координаты четвёртой вершины и точки О пересечения диагоналей.

25. N − середина отрезка АВ, Р − середина отрезка NB. Найти, в каком отношении а) точка А делит направленный отрезок ; б) точка N делит направленный отрезок .

26. Доказать, что четырёхугольник АВСD является трапецией (а не параллелограммом), и найти длину её средней линии, если А(0; 7; 1), В(2; 10; 2), С(5; 3; 2), D(1; −3; 0).

27. Доказать, что точки А(2; 2), В(−1; 6), С(−5; 3) и D(−2; −1) являются вершинами квадрата.

Перечень типовых задач по теме «Векторное и смешанное произведения векторов»

(решаются в прямоугольной декартовой системе координат )

Предварительно необходимо:

● изучить §§ 7−9 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;

● выполнить в тетрадях для практических занятий следующие практические задания из методического пособия [1]: занятие 9, №№ I.1– I.20;

● ознакомиться с решениями задач: занятие 9, №№ II.1 − II.3.

Задачи

28. Найти площадь и длину высоты BH параллелограмма ABCD, проведённой к основанию AD, если A(4; 0; 1), B(0; −2; 1), D(1; 0; 0).

29. Вычислить площадь и длину высоты BH треугольника, вершины которого находятся в точках А(3; 4; −2), В(1; −1; 2)), С(3; 2; −1).

30. Даны точки M(1; 2; 0), N(3; 0; −3), K(5; 2; 6). Вычислите площадь и длину высоты NH треугольника MNK.

31. Даны вершины треугольника P(1; −1; 2), Q(5; −6; 2) и R(1; 3; −1). Вычислить его площадь и длину его высоты QH.

32. Даны вершины параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁: А(1; −1; 1), В(0; 2; 1), D(1; 1; 3), А₁(2; 0; 2). Найти его объём и длину высоты А₁Н.

33. Вычислить объём и высоту DН треугольной пирамиды, вершины которой находятся в точках А(2; 1; −1), В(3; −2; −7), С(5; 1; −1), D(1; 4; −3).

34. Даны вершины тетраэдра А(2; 3; 1), В(4; 1; −2), С(6; 3; 7), D(−5; −4; 8). Найти его объём и длину высоты DH.

35. Даны вершины А(4; 0; −1), В(5; 1; 1), С(3; 3; −1), А₁(6; 2; 0) треугольной призмы ABCA₁B₁C₁. Найти объём призмы и длину её высоты A₁H.

36. Будут ли компланарны векторы:

а) ;

б) ?

37. Выяснить, лежат ли точки М(1; 2; 3), N(1; 3; 2), P(0; 2; 4) и Q(0; 1; 3) в одной плоскости.

Перечень типовых задач по теме

«Прямая линия на плоскости в аффинной системе координат.

Основные аффинные задачи на прямую»

Предварительно необходимо:

● изучить §§ 15−17 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;

● выполнить в тетрадях для практических занятий следующие практические задания из методического пособия [1]: занятие 10, №№ I.1 – I.14, I.17 – I.20;

● ознакомиться с решениями задач: занятие 10, №№ II.1 − II.3.

Задачи

(решаются в аффинной системе координат )

38. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(7; −2) а) параллельно оси Ох; б) параллельно оси Оy; в) параллельно прямой х − у + 4 = 0; г) параллельно прямой у = 5х + 3.

39. Найти уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника А(5; −4), В(−1; 3), С(−3; −2) параллельно противоположным сторонам.

40. Составить уравнения медиан треугольника с вершинами А(2; 3), В(−3; 5) и С(7; −1).

41. Доказать, что четырёхугольник АВСD, где А(−2; −2), В(−3; 1), С(7; 7) и D(3; 1), является трапецией. Составить уравнения средней линии и диагоналей этой трапеции.

42. Выяснить взаимное расположение прямых:

а) и ; в) 6х + у − 1 = 0 и 6х − у − 1 = 0;

б) 2х − 7у − 9 = 0 и 8х − 28у + 1 = 0; г) х − 5 = 0 и 3у + 1 = 0.

43. При каком значении а следующие пары прямых параллельны:

а) 3х − 2у + 11 = 0 и ах − 4у + 3 = 0; б) х − ау + 5 = 0 и 3х − 2у + 1 = 0?

44. При каких значениях m и n прямые mх + 8у + n = 0 и 2х + mу – 1 = 0 совпадают?

45. Через точку пересечения прямых 5х + 3у − 9 = 0 и х + 2у − 1 = 0 провести прямую (т.е. найти её уравнение), проходящую: а) через начало координат; б) параллельно оси Ох; в) параллельно оси Оy; г) через точку М(7; −1).

Перечень типовых задач по теме

«Прямая линия в прямоугольной декартовой системе координат.

Основные метрические задачи на прямую»

Предварительно необходимо:

● изучить §§ 18, 19 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;

● выполнить в тетрадях для практических занятий следующие практические задания из методического пособия [1]: занятие 11, №№ I.1 – I.14;

● ознакомиться с решениями задач: занятие 11, №№ II.1, II.2.

Задачи

(решаются в прямоугольной декартовой системе координат )

46. Найти уравнение прямой d, проходящей через точку М₀ и перпендикулярной прямой m, если а) М₀(6; −11), m: 4х – у + 5 = 0; б) М₀(−1; 1), m: 2х + 3у − 1 = 0.

47. Найти уравнение серединного перпендикуляра к отрезку АВ, если А(5; −1), В(3; 7).

48. Даны две вершины А(3; −1) и В(5; 7) треугольника АВС и точка N(4; 1) пересечения его высот. Найти уравнения сторон этого треугольника.

49. АВСD − прямоугольник, А(3; −5), (DC): х – 4у + 3 = 0. Найти уравнения прямых (АВ) и (АD).

50. Точка А(2; −5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х – 2у − 7 = 0. Вычислить площадь этого квадрата.

51. Даны уравнения двух прямых, содержащих стороны прямоугольника: 3х − 2у − 5 = 0 и 2х + 3у + 7 = 0 и одна из его вершин А(−2; 1). Вычислить площадь этого прямоугольника.

52. Вычислить расстояние между параллельными прямыми:

а) d₁: 3х − 4у − 10 = 0 и d₂: 6х − 8у + 5 = 0;

б) d₁: 5х − 12у + 26 = 0 и d₂: 5х − 12у − 13 = 0.

53. Найти тангенс направленного угла между прямыми:

а) d₁: у = 4х − 9; d₂: у = −х + 3;

б) d₁: ; d₂: 3х − 2у − 81 = 0;

в) d₁: х − у = 0; d₂: х + 2у − 3 = 0.

54. При каком значении b следующие пары прямых перпендикулярны:

а) х + bу − 2 = 0 и 2х + 3у – 7 = 0;

б) 7х − 2у + 9 = 0 и bх + у – 3 = 0;

в) 3х + у − 4 = 0 и 5х + bу − 2 = 0?

55. Выяснить, будут ли прямые d₁ и d₂ взаимно перпендикулярными:

а) d₁: 4х − 4у + 1 = 0; d₂: 3х − 3у − 1 = 0; г) d₁: ; d₂: 3х + 4у – 72 = 0;

б) d₁: ; d₂: ; д) d₁: ; d₂: 5х − 6у = 0.

в) d₁: ; d₂: у = −3х + 1;

56. Две прямые пересекаются в точке А(2; −1). Одна из них проходит через начало координат, другая − через точку В(5; 1). Найти направленный угол между этими прямыми.