Кафедра математики, теории и методики обучения математике

Глазовского государственного педагогического института

им. В.Г. Короленко

МАТЕРИАЛЫ

ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Направление 010500 Математическое обеспечение

и администрирование информационных систем

1 Курс, 2 семестр

Составитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Л.Т. Крежевских

Глазов 2012

Геометрия и топология

II семестр

Модуль 1: Векторы. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат. Прямая линия на плоскости. Основные аффинные и метрические задачи на прямую.

Модуль 2: Плоскость в пространстве. Прямая в пространстве. Прямые и плоскости в пространстве. Основные аффинные и метрические задачи. Линии второго порядка.

Модуль 3: Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. Эллипсоиды. Гиперболоиды. Параболоиды.

Практические занятия

№ практического занятия	Тема практического занятия
Практическое занятие №1	Векторы. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора.
Практическое занятие №2	Скалярное произведение векторов. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат.
Практическое занятие №3	Векторное и смешанное произведения векторов.
Практическое занятие №4	Прямая линия в аффинной системе координат. Основные аффинные задачи на прямую.
Практическое занятие №5	Прямая линия в прямоугольной декартовой системе координат. Основные метрические задачи на прямую.
Контрольная работа №1 по темам модуля 1 (2 часа)
Практическое занятие №6	Плоскость в пространстве. Основные аффинные и метрические задачи.
Практическое занятие №7	Прямая линия в пространстве. Прямые и плоскости в пространстве. Основные аффинные и метрические задачи.
Практическое занятие №8	Эллипс. Гипербола.
Практическое занятие №9	Парабола. Понятие о классификации линий второго порядка.
Контрольная работа №2 по темам модуля 2 (2 часа)
Практическое занятие №10	Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности.
Практическое занятие №11	Конические поверхности. Эллипсоиды. Гиперболоиды. Параболоиды.
Контрольная работа №3 по темам модуля 3 (2 часа)

Список литературы для подготовки к практическим занятиям

1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений по специальности «Информатика». − 2-е изд., перераб. / Составители: Л.Т. Крежевских, И.Л. Мирошниченко. − Глазов: Глазов. гос. пед. ин-т, 2007. − 96 с.

2. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Пособие к практическим занятиям для студентов факультета социальных и информационных технологий. / Составители: Л.Т. Крежевских, И.Л. Мирошниченко. − Глазов: Изд. центр ГГПИ, 2005. − 96 с.

3. Методическая разработка к практическим занятиям по геометрии (электронный вариант) / Составитель: Л.Т. Крежевских. − Глазов: 2007.

Перечень типовых задач по теме

«Векторы. Линейные операции над векторами.

Базис. Координаты вектора»

Предварительно необходимо:

● изучить §§ 1−5 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;

● выполнить в тетрадях для практических занятий следующие практические задания из методического пособия [1]: занятие 5, №№ I.1– I.23; занятие 6, №№ I.1 – I.12;

● ознакомиться с решениями задач: занятие 5, №№ II.1 − II.4; занятие 6, №№ II.1 − II.4.

Задачи

1. М − точка пересечения медиан АА₁, ВВ₁ и СС₁ треугольника АВС. Выразить вектор через векторы и .

2. ABCD − произвольный тетраэдр, Е − середина ребра BD. Выразить вектор через векторы , и .

3. Доказать, что если АА₁ − медиана треугольника АВС, то .

4. Доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда .

5. Доказать, что если А, В, С, D, E и F − середины сторон произвольного шестиугольника, то .

6. Доказать векторным методом, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

7. Даны векторы , и . Построить вектор . Рассмотреть два случая: а) ; б) векторы , и попарно неколлинеарны.

8. АВСD − параллелограмм, О − точка пересечения его диагоналей, Е – середина стороны AD. Выразить вектор через векторы и .

9. АВСА₁В₁С₁ − произвольная треугольная призма, Р − середина ребра АА₁. Не выполняя дополнительных построений, найти вектор .

10. Даны три вектора (5; 0), (−6; 1), (−22; 3). Найти координаты вектора в базисе , .

11. Даны векторы (3; −1), (1; −2), (−1; 7). Найти координаты вектора в базисе , .

12. АА₁, ВВ₁, СС₁ − медианы треугольника АВС, М − его центр тяжести (точка пересечения медиан). Найти координаты вектора а) в базисе ; б) в базисе ; в) в базисе .

13. Р − точка пересечения диагоналей произвольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Найти координаты вектора а) в базисе ; б) в базисе .

14. Даны векторы (2; −3), . При каких значениях t будут коллинеарны векторы и ?

15. При каком значении m векторы (4m; 2; 0), (2; m; m + 1) коллинеарны?