3. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.

Рассмотрим задачу Коши (1) , y(a)=y₀ (2). Будем предполагать, что задача (1)(2) на имеет точное решение y(x). Определим сетку a=x₀<x₁<_……..<x_n=b. Методы Рунге-Кутта q-го порядка опред. 3 наборами параметров

(α)

…………….. ( )

(3). Алгоритм метода Рунге-Кутта:

1)полагаем

2) вычисляем функции

,

j=1, …, q

3) вычисляем

4) вычисляем

Рассмотрим схему построения методов Рунге – Кутта в случае q=1.

(3).

Обозначим через интегральную кривую уравнения (1), проход. через точку , удовлетворяющую условию . Подставляя ее в (3) получим (4)

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора

используя(1) последнее равенство запишем в виде , где ,

Правую часть рассмотрим как сложную ф-цию переменной h и произведем разложение в нуле. Будем иметь Разложение в левых и правых частях слагаемые совпадают .Т.о. для определения 4 параметров метода получаем

(7)

Соотношение (7) определяет бесконечное мн-во методов Ругне-Кутта соотв-щих q=1. Погрешность этого метода есть величина 2-го порядка. Если положить А0=1 из (7) => А1=0, -любые. В этом случае (3)предоставляет собой метод Эйлера. Если же А0=1/2 из (7) => А1=1/2, =1. В этом случае (3)предоставляет собой метод Коши-Эйлера.

Параметры можно выбирать из любых других соображений, лишь бы они удовлетворяли (7). Точно так же строятся методы Рунге-Кутта 2-го, 3го порядка точн-и и т.д.

4. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов.

Пусть задана задача Коши . Предположим что на задана равномерная сетка a=x₀<x₁<_……..<x_n=b, Будем считать, что для численного решения задачи (1), (2) задана расчетная формула , i=1,2,… (3). В ходе реальных вычислений по формуле (3) будем получать значения ,в общем случае вычислительной погрешности будет выполняться равенство: (4), где – вычислительная погрешность на одном шаге.

Обозначим интегральную кривую уравнения (1), удовлетворяющую условию . Тогда для нее справедливо соотношение: (5), где – погрешность метода (3) на одном шаге. Тогда из (4), (5) имеем (6). Пусть – общая погрешность вычислений в точке . Перепишем (7).

Лемма. Пусть , хͼ -пространство решений уравнения (1), тогда (8), где функция такова, что ее значение располагается между значениями .

Доказательство. Воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа, имеем : . Отсюда . Проинтегрируем это равенство на : . Отсюда следует (8).

Примени формулу (8) к выражению (7): (9). Пусть . Тогда из (9) имеем оценку (10). (10) дает оценку метода решения (3). Таким образом, если при выполняется , то метод равномерно сходится. Если погрешность метода (3) на одном шаге есть величина порядка , то наличие слагаемого позволяет утверждать, что общая погрешность метода будет .

5. Экстрополяционные методы Адомса

Пусть задана з. Коши

Пусть з.К. имеет точное решение у(х). На отрезке построим с шагом h=(b-a)/N равномерную сетку a=x₀<x₁<_……..<x_n=b

Для любой гладкой функции у(х) справедлива формула: (3).

Сделав замену перепишем (3) в виде: (4). Подинтегральную функцию в (4) заменим интерполяционным многочленом с конечными разностями для интерполирования в конце таблицы, а в качестве узлов интерполирования возьмем точки . Получим: (t) (5), где остаточный член интерполяционного многочлена

Подставляя (5) в (4) получим: (6)

где ,

Применяя теорему о среднем получим:

(7). Из этого следует оценка остаточного члена M_k+2, где M_k+2=max_a≤x≤b| |

Подставляем в (6) вместо y(x) интерполяц. кривую проходящ. через точку y_i(x_i)=y_i. Учтем что y’(x)=f(x,y(x)),a≤x≤b

(8). Отбрасывая в (8) член и переходя к приближенным равенствам будем иметь , где =hf(x_j,y_j), j=i-k,…,i(9). Формула (9) наз. экстрополяционной формулой Адомса решения задачи Коши (1,2). Погрешность этой формулы на одном шаге есть величина порядка , это след. из (7). Экстрополяционный метод Адомса (9) явл явным k-шаговым погрешность этого метода есть . Для начала вычислении по формуле (9) необходимо задать начало таблицы . Знач. берется из (2). Знач. и т.д. выч. каким либо одношаговым методом соотв. порядка точностей. Например методом Рунге-Куты.