§ 3. Существование канонического базиса относительно произвольного линейного оператора.

Пусть — линейный оператор -мерного линейного пространства над полем , а — полином над этим полем. Если , то — называется аннулирующим линейный оператор полиномом. Покажем, что существует аннулирующий оператор ненулевой полином. Так как пространство всех линейных операторов пространства имеет размерность , то система линейна зависима. Поэтому для некоторых элементов поля , не все из которых равны нулю

.

Тогда полином является ненулевым аннулирующим оператор полиномом.

Например, характеристический полином линейного оператора, как будет показано ниже, является аннулирующим этот оператор полиномом (т. Гамильтона-Кэли).

Теорема 3. Пусть аннулирующий полином разлагается в произведение попарно взаимно простых множителей

.

Тогда

.

Доказательство проведем для случая . В общем случае теорема доказывается аналогично.

В силу взаимной простоты полиномов и существуют в такие полиномы и , что

.

Тогда (1)

Далее, для любого в силу (1) имеет место равенство

.

Покажем, что

,

.

В самом деле,

Аналогично .

Тем самым доказано равенство

.

Если теперь , то , и, следовательно, .

Теорема доказана.

Замечание. Легко убедиться, что подпространства инвариантны относительно и ограничение на является нулевым оператором.

Пусть теперь аннулирующий полином имеет вид

(2)

где при . Тогда по предыдущей теореме

.

Как отмечено выше, подпространства инвариантны относительно и ограничение на является нулевым оператором, т.е. ограничение на — нильпотентно . В каждом ненулевом пространстве согласно теореме I можно выбрать канонический базис относительно ограничения на , в котором матрица этого ограничения имеет вид

В этом же базисе матрица ограничения на будет равна . Матрица линейного оператора в базисе, который получается объединением всех канонических базисов, построенных в ненулевых подпространствах

, приобретает вид .

Тем самым теорема доказана.

Теорема 4. Относительно любого линейного оператора пространства , аннулирующий полином которого имеет вид (2) (в частности, для любого линейного оператора конечномерного комплексного пространства) существует канонический базис.

§ 4. Минимальный полином. Теорема Гамильтона-Кэли.

Пусть линейный оператор пространства . Полином наименьшей степени среди аннулирующих полиномов., старший коэффициент которого равен I, называется минимальным полиномом линейного оператора .

Пусть — минимальный полином . Покажем, что полином аннулирует тогда и только тогда, когда он делится на .

Представим в виде

,

где — остаток от деления на . Тогда

(I)

Так как , то из равенства (I) следует . Поэтому . Необходимость доказана.

Достаточность очевидна.

Отсюда следует, что минимальный полином линейного оператора определен однозначно.

В самом деле, если и - минимальные полиномы линейного оператора, то в силу только что доказанного свойства они делят друг друга и, значит, совпадают.

Приведем определение минимального полинома матрицы.

Пусть - квадратная матрица над полем . . Если , то называется полиномом, аннулирующим матрицу . Равенства и равносильны, если — линейный оператор с матрицей в некотором базисе. Поэтому существуют ненулевые полиномы, аннулирующие матрицу . Выберем среди них полином наименьшей степени со старшим коэффициентом I. Такой полином называется минимальным полиномом матрицы . Так как множество полиномов, аннулирующих матрицу , совпадает с множеством полиномов, аннулирующих , то минимальный полином линейного оператора совпадает с минимальным полиномом его матрицы. Следовательно, минимальный полином матрицы обладает теми же свойствами, что и минимальный полином линейного оператора, а также минимальные полиномы подобных матриц равны.