МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Механико-математический факультет

Кафедра высшей алгебры

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по теме “Нормальные формы матриц”

курса “Алгебра и теория чисел”

для студентов специальности 2013

Минск 2007

ВВЕДЕНИЕ

В предлагаемой методической разработке рассматриваются следующие нормальные формы матриц: жорданова, обобщенная жорданова и форма Фробениуса.

Получены алгоритмы построения таких форм, опирающиеся при известных собственных значениях лишь на вычисление ранга матрицы, что можно запрограммировать. Объем вычислений при решении конкретных примеров при этом не больший, чем при алгоритме использующем теорию полиномиальных матриц, а для матриц, собственные значения которых известны и матриц малых порядков , значительно меньший.

Изложение краткое, геометричное, опирается на изученный ранее аппарат линейной алгебры, и совсем не требует сведений из теории полиномиальных матриц.

Конструкции, подобные используемым в нашем изложении, применяются в дальнейшем при изучении операторов в бесконечномерных функциональных пространствах.

В заключение благодарим всех преподавателей механико-математического факультета, которые высказали критические замечания и дали полезные советы.

Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора

§ 1. Постановка задачи

Пусть - произвольный элемент поля . Рассмотрим квадратную матрицу

порядка . Обозначим ее J и назовем клеткой Жордана.

Например,

, , .

Квазидиагональная матрица

,

на диагонали которой расположены клетки Жордана, называется жордановой матрицей. При этом не предполагается, что элементы обязательно различны.

В частности, всякая диагональная матрица является жордановой матрицей.

Пусть теперь -мерное линейное пространство над полем - линейный оператор пространства . Базис пространства , в котором матрица линейного оператора является жордановой, назовем каноническим или жордановым относительно .

Требуется найти необходимое и достаточное условие существования и указать способ построения канонического базиса, а также выяснить, какова матрица линейного оператора в построенном каноническом базисе.

Пусть - квадратная матрица над полем . Жорданову матрицу, подобную матрице , назовем ее жордановой нормальной формой. Как известно, матрицы подобны тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и того же линейного оператора векторного пространства (в соответствующих базисах). Поэтому на “матричном” языке наша задача формулируется так:

Найти необходимое и достаточное условие существования и указать способ построения жордановой нормальной формы данной матрицы.

Решение поставленной задачи проведем в два этапа. Сначала укажем способ построения канонического базиса для случая специального класса линейных операторов, называемых нильпотентными, затем сведем общий случай к изученному.

§ 2. Построение канонического базиса для случая нильпотентного линейного оператора.

Линейный оператор пространства называется нильпотентным, если при некотором натуральном выполняется равенство . Наименьшее натуральное число такое, что , называется индексом нильпотентности оператора .

Пусть теперь — нильпотентный оператор индекса нильпотентности и для любого . В частности, . Очевидно, . Покажем, что . Начнем с доказательства неравенства . Пусть . Тогда и, значит, , что противоречит выбору . Если теперь , то легко проверить, что

.

Следовательно, справедливы следующие строгие включения

.

В построении канонического базиса относительно нильпотентного оператора основную роль играет

Лемма. Если векторы дополняют базис подпространства до базиса , то существуют в подпространстве такие векторы , что система дополняет любой базис до базиса .

Доказательство. Пусть — базис .

Покажем, что система

(1)

линейно независима. Если

, (2)

то

, т.е. или

.

Значит, . Если - базис , то

.

.

Отсюда следует в силу того, что - базис . А тогда из равенства (2) следует , ибо - базис . Так как (1) — линейно независимая система векторов подпространства , то ее можно дополнить векторами до базиса . Очевидно, векторы - искомые.

Теорема 1. Существует канонический базис относительно нильпотентного оператора.

Доказательство. Пусть — нильпотентный оператор -мерного линейного пространства над полем , — индекс нильпотентности , векторы дополняют базис до базиса . Тогда по лемме существуют в такие векторы , что система дополняет любой базис до базиса . По той же причине существуют в такие векторы

, что система дополняет базис до базиса .

Переходя таким образом к подпространствам мы получим систему векторов пространства , которую запишем в виде следующей таблицы:

,

,

, (2)

………………………………………………………………..

Покажем, что (2) — базис . В последней строке таблицы по построению выписаны векторы, дополняющие базис до базиса , т.е. выписан базис . Следовательно, в двух последних строках выписан базис , в трех последних — базис , …, векторы, выписанные во всех строках кроме первой, составляют базис , и, значит, все векторы таблицы (2) составляют базис .

Отметим, что линейная оболочка векторов каждого столбца таблицы является инвариантным относительно подпространством. Докажем это для векторов первого столбца. Пусть

.

Тогда

.

Для других столбцов доказательство аналогично и предоставляется читателю.

Очевидно, все пространство есть прямая сумма указанных подпространств. Поэтому матрица в базисе

,

………………………

,

…………………………………….. (3)

…………………………………….

является квазидиагональной и на ее диагонали стоят, как нетрудно проверить, клетки Жордана вида

.

Порядок клетки равен размерности соответствующего инвариантного подпространства, т.е. числу векторов соответствующих столбца таблицы (2) или строки таблицы (3).

Следовательно, (3) — канонический базис относительно .

Теорема доказана.