Решение: Разбиваем вал на два участка: I и II.

I участок,

(линейный закон)

По полученным значениям строим эпюру (рис. 8.14 б).

Рис.8.14

Для проверки используем зависимость (8.25). Вычислим первые производные на каждом участке:

, .

Отсюда следует, что на I участке должна действовать распределенная моментная нагрузка , а на II она отсутствует (рис. 8.14 а).

8.2.3. Напряжения при кручении круглого бруса

Представление о характере деформации кручения можно получить, подвергая скручиванию модель бруса с нанесенной на его поверхность сеткой продольных и поперечных линий.

После закручивания продольные линии превращаются в винтовые (рис. 8.15). Поперечные линии не искривляются, и расстояние между ними не меняется. Прямоугольники, образованные сеткой, перекашиваются за счет изменения первоначально прямого угла на малый угол .

Брус радиусом (рис. 8.16) скручивается моментом . Образующая после кручения перейдет в положение . Сечение I–I повернется на угол , а сечение II–II на угол . Следовательно, сечение II–II по отношению к I–I повернется на угол .

Рис. 8.15 Рис. 8.16

В результате наблюдений приходим к следующим гипотезам, на которых основана теория круглых валов:

1. Сечения, плоские до закручивания, остаются плоскими и после закручивания (гипотеза Бернулли);

2. Все радиусы данного сечения остаются прямыми и поворачиваются на один и тот же угол (рис. 8.16), т.е. каждое сечение поворачивается вокруг оси z как жесткий тонкий диск;

3. Расстояния между сечениями не меняются, значит, продольные волокна не удлиняются и не укорачиваются, т.е. .

На основании принятых гипотез кручение круглого бруса можно представить как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом сечений друг относительно друга. Вследствие этого в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Для их определения рассмотрим три стороны задачи (см. главу 3).

Статическая сторона задачи выражается интегральным уравнением равновесия:

, (8.26)

т.е. крутящий момент представляет собой результирующий момент внутренних касательных сил , действующих на бесконечно малых площадках сечения (рис. 8.17): – плечо элементарной силы относительно продольной оси точки О.

Рис. 8.17

Рассмотрим геометрическую сторону задачи.

Выделим из бруса элемент (рис. 8.16) и рассмотрим картину деформирования, приняв левое сечение условно неподвижным (рис. 8.18).

Рис. 8.18

Радиус ОВ вместе с сечением поворачивается на угол , а образующая CK произвольной точки K переходит в положение СК₁, поворачиваясь на угол .

Дуга , а из треугольника СКК₁ отрезок . Из равенства получим выражение угла сдвига на поверхности скручивания элемента, т.е. геометрическое уоавнение,

. (8.27)

Физическая сторона задачи определится законом Гука при сдвиге (8.5):

или . (8.28)

Проведем синтез трех сторон задачи.

Формула (8.28) с учетом (8.27) принимает вид

. (8.29)

Подставляя (8.29) в (8.26), имеем:

, (8.30)

где интеграл  полярный момент инерции сечения.

Из (8.30) следует:

. (8.31)

С учетом (8.31) формула (8.29) принимает окончательный вид

. (8.32)

По формуле (8.32) определяются касательные напряжения в любой точке поперечного сечения вала.

По закону парности такие же касательные напряжения возникают в продольных сечениях (рис.8.19 а), и прямоугольный элемент испытывает состояние чистого сдвига (рис. 8.19 б).

Рис. 8.19

Анализ формулы (8.32) показывает:

1. распределены вдоль радиуса по линейному закону (рис. 8.19);

2. В каждой точке перпендикулярны текущему радиусу;

3. = 0 в центре круга ( = 0);

4. Максимальные напряжения возникают в крайних точках сечения:

, (8.33)

или , (8.34)

где – геометрическая характеристика сечения, называемая полярным моментом сопротивления, см³ или м³.