3. Критерии минимального среднего риска и Неймана-Пирсона

Критерии Неймана-Пирсона и минимального среднего риска (байесовский) относятся к статистическим критериям оптимального приема сигналов.

Критерий Неймана-Пирсона

В ряде случаев разные ошибки могут приводить к разным последствиям.

Например: в системах автоматической пожарной сигнализации значительно опаснее пропустить сигнал о «пожаре», чем сыграть «ложную» тревогу, когда на самом деле пожар отсутствует.

Такого рода последствиями характеризуются системы радиолокации и гидроакустики. Гораздо большие последствия будет иметь пропуск воздушной или подводной цели, которая может применить оружие по объекту. Объявление ложной тревоги не повлечет за собой ровным счетом ничего.

Итак, в ситуациях, когда невозможно определить априорную вероятность передачи отдельных сообщений, а последствия возникновения различных ошибок неодинаковы, применяют критерий Неймана-Пирсона.

Согласно критерию Неймана-Пирсона приемник является оптимальным в том случае, если при заданной вероятности ложной тревоги (ошибочное обнаружение цели, когда она фактически отсутствует), он обеспечивает минимальную вероятность пропуска цели . Заметим, что хотя здесь речь идет об обнаружении или необнаружении цели, на самом деле следует говорить о приеме или неприеме соответствующего сигнала.

Введем в рассмотрение функции правдоподобия гипотез о наличии цели и отсутствии цели . В соответствии с этим все пространство принимаемых решений можно разделить различными способами на две области: - область решения об отсутствии цели и – область о ее наличии. При этом найдется оптимальный способ разделения, который обеспечит равенство вероятности ложной тревоги при некоторой наперед заданной величине (эпсилон), т.е.

;

(3.1)

где: – плотность распределения помехи, так как символ « » соответствует в данном случае отсутствию сигнала о цели.

Иными словами, вероятность ложной тревоги определяется вероятностными характеристиками помехи и выбора области . С другой стороны задание этой области определяет вероятность правильного обнаружения цели:

;				(3.2)
где		–	вероятность пропуска цели.

Если величина известна, то максимум вероятности правильного обнаружения цели достигается при выполнении неравенства

;				(3.3)
где		–	величина порога, определяемая заданной величиной вероятности ложной тревоги

Критерий минимального среднего риска

Критерием минимального среднего риска устраняется недостаток критерия идеального наблюдателя - равная вероятность появления любой из ошибок ( или ).

Его существо состоит в том, что любой паре переданного символа и принятого символа приписывают некоторую численную величину , называемую «потерей» или «стоимостью». Чем более нежелательна ошибка, тем большую стоимость она имеет. Правильному приему в этом случае будет соответствовать нулевая «потеря».

Введем понятие условного риска. Этим понятием будем называть условное математическое ожидание величины «потери» при передаче некоторого символа

;				(3.4)
где		–	условная плотность распределения колебания на входе приемника при передаче символа
		–	область принятия в данном случае ошибочного решения о появлении колебания в приемнике, если передавался символ

При усреднении по всем символам , получим величину, которую принято называть средним риском

;

(3.5)

Согласно рассматриваемому критерию оптимальным будет такой приемник, в котором обеспечивается наименьшая величина среднего риска . Приемник, где достигается этот минимум, называется байесовским. В этом случае потери, обусловленные ошибками в принятии решений, будут сведены к минимальным.

Ограниченность этого критерия заключается в том, что помимо знания априорных вероятностей передачи отдельных символов, необходимо знать и величины потерь .

В частном случае, когда ошибки равновероятны, критерий минимального среднего риска совпадает с критерием идеального наблюдателя т.е. байесовский приемник совпадает с идеальным приемником Котельникова. В общем же случае в оптимальном байесовском приемнике чаще будут возникать ошибки, связанные с малыми потерями, и реже – с большими потерями.

Выводы

1. Критерии Неймана-Пирсона и минимального среднего риска (байесовский) относятся к статистическим критериям оптимального приема сигналов.

2. В отличие от критерия идеального наблюдателя, критерий Неймана-Пирсона не требует знания априорных вероятностей передаваемых сообщений.

3. Критерием минимального среднего риска устраняется недостаток критерия идеального наблюдателя - равновероятность появления любой из ошибок.

Заключение

Значительное большинство систем передачи дискретных сообщений обладает примерно одинаковыми априорными вероятностями передаваемых сообщений. Кроме того, в этих системах ошибки являются одинаково нежелательными. Поэтому в дальнейшем всегда будет применятся критерий Котельникова, в который в таких случаях приводит к правилу максимального правдоподобия.

Литература

1. Д.Д. Кловский «Теория электрической связи» М. «Радио и связь», стр. 165-173.

2. Р.Р. Биккенин, М.Н. Чесноков Теория электрической связи. Случайные процессы. Помехоустойчивая передача дискретной информации: Учебное пособие / СПб., 2001, стр. 67-75.

3. А.П. Сальников «Теория электрической связи», конспект лекций ч.2, СПб 2002г., стр. 35-42.

Разработал:

кандидат технических наук

О.Р. Кивчун

«___»__________ 2012 года

11