министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический институт

филиал в г. Ишимбай

Кафедра физики и математики

Расчетно-графическая работа

по Высшей математике

Теория вероятностей

(для студентов II курса дневного отделения)

Составил: ассистент

Осипова Т. В.

Ишимбай, 2013

Расчетные задания должны выполняться студентами планомерно, по мере изучения курса. Решенные задачи, с указанием варианта и полного условия, следует четко и аккуратно оформить на пронумерованных листах формата А4. При этом каждая задача должна начинаться с нового листа. При решении задач обязательно необходимо указывать формулы использованные при решении, с полным объяснением. Работы с неверно или не полностью решенными задачами возвращаются на доработку и требуют дополнительной защиты в форме собеседования.

Вариант №1

1. Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятности попадания в цель для каждого из них соответственно равны 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что: а) в цель попадает только один стрелок; б) в цель попадают только два стрелка; в) в цель попадает хотя бы один стрелок.

2. В круг радиуса 10 случайным образом брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной 5.

3. В урне 10 шаров, из них 6 – окрашенные. Найти вероятность того, что ровно 2 из 3-х вынутых наудачу шаров окрашены.

4. На одном заводе на каждые 100 лампочек приходится в среднем 10 нестандартных, на втором – 15, а на третьем – 20. Продукция этих заводов составляет 50; 30 и 20% всех электролампочек, приобретаемых жителями района.

А) Найти вероятность того, что приобретенная лампочка будет стандартной.

В) Приобретенная лампочка оказалась стандартной. Какова вероятность того, что эта лампочка изготовлена на первом заводе?

5. Рабочий за смену изготавливает 400 деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта, равна 0,8. Какова вероятность того, что деталей первого сорта будет ровно 330 штук?

6. Вероятность появления события А в каждом из 150 независимых испытаний равна 0,6. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится от 78 до 96 раз.

7. Независимые дискретные величины X и Y заданы законами распределения:

X	-6	8	9	10			Y	-8	2
p	0,1	0,1	0,6	0,2			p	0,4	0,6

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины Z=3X-2Y. Найти и построить функцию распределения дискретной случайной величины Х.

8. Составить ряд распределения случайной величины Х-числа бракованных деталей в выборке объема п=4. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,8. Определить вероятность того, что в выборке будет бракованных: а) ровно две детали; б) более двух деталей; в) не более двух деталей. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

9. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей F(x). Найти: а) вероятность попадания случайной величины X в интервал ; б) плотность распределения вероятностей случайной величины X; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х:

Построить графики функции и плотности распределения случайной величины Х.

10. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5мм и 200,5мм. Найти процент стандартных деталей.

Вариант №2

1. Вероятность выполнения плана бригадами соответственно равна 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что выполнят план: а) обе бригады; б) хотя бы одна бригада; в) только одна бригада.

2. В круг радиуса 9 случайным образом брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной 4.

3. В лотерее 10 билетов, из которых 4 выигрышных. Какова вероятность, что выиграют два билета при покупке четырех билетов.

4. Всхожесть семян свеклы первой партии 90%, второй партии-80%. Перед посевом смешали 2ц семян первой партии и 3ц семян второй партии.

А) Какова вероятность всхода, если посадили одно семя?

В) Семя взошло. Какова вероятность того, что оно из первой партии?

5. Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет 0,8. Найти вероятность 165 попаданий при 225 выстрелах.

6. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится от 72 до 84 раз.

7. Независимые дискретные величины X и y заданы законами распределения:

X	-2	-1	0	3		Y	-3	2
p	0,2	0,5	0,1	0,2		p	0,3	0,7

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины Z=3X-2Y. Найти и построить функцию распределения дискретной случайной величины Х.

8. Составить ряд распределения случайной величины Х-числа бракованных деталей в выборке объема п=5. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,2. Определить вероятность того, что в выборке будет бракованных: а) ровно три детали; б) более трех деталей; в) не более трех деталей. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

9. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей F(x). Найти: а) вероятность попадания случайной величины X в интервал ; б) плотность распределения вероятностей случайной величины X; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х:

Построить графики функции и плотности распределения случайной величины Х.

10. Средний размер стволов деревьев на некотором участке равен 25см, среднее квадратическое отклонение равно 5см. Считая диаметр ствола случайной величиной, распределенной нормально, найти процент деревьев, имеющих диаметр свыше 20см.

Вариант №3

1. Всхожесть семян первого, второго и третьего сорта некоторой культуры составляет соответственно 90%; 80% и 70%. Вычислить вероятность того, что из трех посеянных разносортных семян этой культуры: а) взойдут все три; б) взойдет только одно; в) взойдет хотя бы одно.

2. В круг радиуса 10 случайным образом брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной 4.

3. В ящике 15 деталей, из них 6 – бракованные. Найти вероятность того, что ровно одна из трех вынутых деталей – бракованная.

4. На фабрике на машинах А, В С производят соответственно 25; 35 и 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 15; 10 и 5%.

А) Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие окажется дефектным.

В) Выбранное изделие оказалось дефектным. Найти вероятность того, что оно изготовлено на машине А.

5. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,75. Какова вероятность того, что из 192 посеянных семян взойдет ровно 150?

6. Вероятность появления события А в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,9. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится от 345 до 372 раз.

7. Независимые дискретные величины X и y заданы законами распределения:

X	-6	8	9	10		Y	-8	2
p	0,1	0,1	0,6	0,2		p	0,4	0,6

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины Z=3X-Y. Найти и построить функцию распределения дискретной случайной величины Х.

8. Составить ряд распределения случайной величины Х-числа бракованных деталей в выборке объема п=6. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,1. Определить вероятность того, что в выборке будет бракованных: а) ровно четыре детали; б) более четырех деталей; в) не более четырех деталей. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

9. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей F(x). Найти: а) вероятность попадания случайной величины X в интервал ; б) плотность распределения вероятностей случайной величины X; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х:

Построить графики функции и плотности распределения случайной величины Х.

10. Процент всхожести семян равен 90%. Оценить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет от 850 до 950 семян включительно.

Вариант №4

1. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих датчика. Вероятность исправной работы первого датчика равна 0,9; второго – 0,95; третьего – 0,8. Найти вероятность того, что: а) сработает только один датчик; б) сработает только два датчика; в) сработает хотя бы один датчик.