Тема 3. Линейные регрессионные модели с переменной структурой.

При изучении социально-экономических процессов и явлений может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровня, например, образование, пол, фактор сезонности. Качественные признаки могут существенно влиять на структуру линейных связей между переменными и приводить к скачкообразному изменению параметров регрессионной модели. В этом случае говорят об исследовании регрессионных моделей с переменной структурой или построении регрессионных моделей по неоднородным данным.

Оценить влияние значений количественных переменных и уровней качественных признаков с помощью одного уравнения регрессии можно путем введения фиктивных переменных.

В качестве фиктивных переменных обычно используются дихотомические (бинарные) переменные, которые принимают всего два значения: «0» и «1». Например, при исследовании зависимости заработной платы от уровня образования z можно рассмотреть k=3 уровня: начальное образование, среднее и высшее. Обычно вводят (k-1) бинарную переменную. В нашем случае потребуется ввести две фиктивные переменные.

Тогда регрессионная модель запишется в виде:

y= b₀ + b₁∙x₁ + … + b_m∙x_m + b_m+1∙z₁ + b_m+2∙z₂ +ε,

где

x₁, …,∙x_m – экономические (количественные) переменные.

Наличие у работника начального образования будет отражено парой значений z₁=0, z₂=0.

Параметры при фиктивных переменных z₁ и z₂ представляют собой разность между средним уровнем результативного признака для соответствующей группы и базовой группы (в нашем примере это работники с начальным образованием).

При построении регрессионных моделей по неоднородным данным необходимо выяснить, действительно ли две выборки однородны в регрессионном смысле, можно ли объединить их в одну и рассматривать единую модель регрессии?

Для ответа на этот вопрос можно воспользоваться тестом Г.Чоу.

По каждой выборке строятся две линейные регрессионные модели:

Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид – H₀: b'=b''; D(ε')= D(ε'')= σ².

Если нулевая гипотеза верна, то две регрессионные модели можно объединить в одну объема n = n₁ + n₂.

Согласно критерию Г.Чоу нулевая гипотеза H₀ отвергается на уровне значимости α, если статистика

где - остаточные суммы квадратов соответственно для объединенной, первой и второй выборок, n = n₁ + n₂.

Для проверки гипотезы о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда можно также использовать тест Д.Гуйарати.

Задача 3.1.

По данным приложения 1 изучается динамика официального курса рубля по отношению к доллару США. Известно, что после 8-го наблюдения экономическая ситуация изменилась.

Задание:

С помощью теста Чоу проверьте гипотезу об однородности исходных данных.

Задача 3.2.

Проверка данных о динамике официального курса рубля по отношению к доллару США на однородность с помощью теста Чоу показала необходимость разбиения исходной выборки на две (задача 3.2).

Задание:

1. Постройте уравнение тенденции, включив фиктивную переменную. Проанализируйте результаты регрессионного анализа.

2. На одной диаграмме постройте график исходного ряда динамики, а также графики уравнения тенденции, полученного по всем данным, и по уравнению с фиктивной переменной.