Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТСиСА,л.р..doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
2.3 Mб
Скачать

2.2.2 Методика выполнения работы

2.2.2.1 Пример задачи линейного программирования: задача планирования производства

Одной из наиболее распространенных практических задач, решаемых методами линейного программирования, является задача планирования производства при ограниченных ресурсах. Основной метод решения задач линейного программирования – симплекс-метод – будет рассмотрен на примере решения такой задачи.

Пример 2.1. Один из цехов машиностроительного предприятия выпускает изделия из двух видов: корпуса и задвижки. Для производства этих изделий требуются три вида сырья: алюминий, сталь и пластмасса. На выпуск одного корпуса расходуется 20 кг алюминия, 10 кг стали и 5 кг пластмассы. На выпуск одной задвижки расходуется 5 кг алюминия, 5 кг стали и 20 кг пластмассы. Запасы ресурсов ограничены: за рабочую смену цех может израсходовать не более 200 кг алюминия, 250 кг стали и 500 кг пластмассы.

Выпуск одного корпуса приносит предприятию прибыль в размере 100 денежных единиц (ден. ед.), одной задвижки – 300 ден. ед.

Требуется составить оптимальный план работы цеха, т.е. найти, сколько корпусов и задвижек требуется выпускать, чтобы получить максимальную прибыль (при соблюдении ограничений на ресурсы).

Для построения математической модели задачи введем переменные. Обозначим через х1 количество выпускаемых корпусов, через х2 - количество выпускаемых задвижек.

Составим ограничение на расход алюминия. На выпуск одного корпуса расходуется 20 кг алюминия: значит, расход алюминия на выпуск всех корпусов составит 20хкг. На выпуск задвижек будет израсходовано 5хкг алюминия. Таким образом, общий расход алюминия составит 20х1 + 2 кг Эта величина не должна превышать 200 кг, так как цех не может израсходовать за смену свыше 200 кг алюминия. Поэтому можно записать следующее ограничение:

20х1+5х2 ≤ 200

Аналогично можно составить ограничение на расход стали:

10х1+5х2≤ 250

и на расход пластмассы:

1+20х2≤ 500

Кроме того, переменные х1 и х2 по своему физическому смыслу не могут принимать отрицательных значений, так как они обозначают количество изделий. Поэтому необходимо указать ограничения неотрицательности:

х1≥ 0, х2≥ 0.

В данной задаче требуется определить количество выпускаемых изделий, при котором прибыль от их производства будет максимальной. Прибыль от выпуска одного корпуса составляет 100 ден. ед.: значит, прибыль от выпуска корпусов составит 100х1 ден. ед. Прибыль от выпуска задвижек составит 300х2 ден. ед. Таким образом, общая прибыль от выпуска всех изделий составит 100х1+300х2 ден. ед. Требуется найти такие значения переменных х1 и х2 при которых эта величина будет максимальной. Таким образом, целевая функция для данной задачи будет иметь следующий вид:

Е=100х1+300х2→max

Приведем полную математическую модель рассматриваемой задачи:

20х1+5х2≤ 200

10х1+5х2≤ 250 (2.1)

1+20х2≤ 500

х1≥ 0, х2≥ 0

Е=100х1+300х2→max

Примечание. В данной задаче на переменные х1 и х2 накладывается также ограничение целочисленности: они должны принимать только целые значения, так как обозначают количество изделий. Если в результате решения задачи эти переменные примут дробные значения, то для получения целочисленного решения потребуется использовать специальные методы, рассматриваемые в лабораторной работе № 4.

Эту задачу можно решить также графическим методом. Решение показано на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Решение примера 2.1 графическим методом

Найдем значения целевой функции для угловых точек ОДР:

Е(О) = 100*0+300*0 = 0,

Е(А) = 100*0 +300*25 = 7500,

Е(В) = 100*4 +300*24 = 7600,

Е(С) = 100*10+300*0 = 1000.

Таким образом, оптимальное решение находится в точке В = (4;24). Это означает, что цех должен выпускать за смену 4 корпуса и 24 задвижки. Прибыль при этом составит 7600 ден. ед.

Рассмотрим решение этой же задачи на основе симплекс-метода, позволяющего решать задачи с любым количеством переменных.

Для решения задачи симплекс-методом требуется привести ее к стандартной форме, как показано в подразделе 1.2.2.3. Все ограничения задачи имеют вид «меньше или равно». Их необходимо преобразовать в равенства. Для этого требуется добавить в каждое ограничение дополнительную (остаточную) переменную. Математическая модель задачи в стандартной форме будет иметь следующий вид:

20х1+5х23=200

10х1+5х24=250 (2.2)

1+20х25=500

хj≥ 0, j=1,…,5.

E=100х1+300х2→max

Здесь х345- остаточные переменные. Их физический смысл будет показан в п. 2.2.2.4.