- •Н.И.Ковтун теория систем и системный анализ
- •Содержание
- •Предисловие
- •Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 1. Постановка задачи и основные понятия линейного программирования
- •1.1 Цель работы
- •1.2 Теоретическое введение
- •1.2.1 Понятие математической модели. Математическая модель в задачах линейного программирования (лп)
- •1.2.2 Методика выполнения работы
- •1.2.2.1 Примеры задач лп
- •1.2.2.2 Графический метод решения задач лп
- •1.2.2.3 Приведение задач лп к стандартной форме
- •1.3 Порядок выполнения работ
- •1.4 Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 2 решение задач линейного программирования на основе симплекс-метода
- •2.1 Цель работы
- •2.2 Теоретическое введение
- •2.2.2 Методика выполнения работы
- •2.2.2.1 Пример задачи линейного программирования: задача планирования производства
- •2.2.2.2 Принцип работы симплекс-метода
- •2.2.2.3 Определение начального допустимого решения
- •2.2.2.4 Определение оптимального решения на основе симплекс-таблиц
- •2.2.2.5. Решение задач линейного программирования средствами табличного процессора Ехсеl
- •2.2.2.6 Анализ оптимального решения на чувствительность
- •2.3 Порядок выполнения работы
- •2.4 Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа №3 решение задач линейного программирования на основе методов искусственного базиса
- •3.1 Цель работы
- •3.2 Теоретическое введение
- •3.2.1 Назначение и принцип работы методов искусственного базиса
- •3.2.2 Методика выполнения работы
- •3.2.2.1 Двухэтапный метод
- •3.2.2.2 Анализ оптимального решения на чувствительность
- •3.3 Порядок выполнения работы
- •3.4 Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 4 решение задач оптимизации на основе методов линейного целочисленного программирования
- •4.1 Цель работы
- •4.2 Теоретическое введение
- •4.2.1 Назначение метода ветвей и границ
- •4.2.1.1 Метод ветвей и границ
- •4.2.2 Методика выполнения работы
- •4.3 Порядок выполнения работы
- •4.4 Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 5 транспортная задача линейного программирования как частный случай общей распределительной задачи
- •5.1 Цель работы
- •5.2 Теоретическое введение
- •5.2.1 Общая характеристика распределительной задачи
- •5.2.2 Методика выполнения работы
- •5.2.2.1 Транспортная задача
- •5.2.2.2 Поиск допустимого решения методом минимального элемента
- •5.2.2.3 Поиск оптимального решения. Метод потенциалов
- •5.2.2.4 Транспортные задачи с неправильным балансом
- •5.2.2.4.1 Транспортная задача с избытком запасов
- •5.2.2.4.2 Транспортная задача с избытком заявок
- •5.2.2.5 Вырожденное решение
- •5.3 Порядок выполнения работы
- •5.4 Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 6 решение задач оптимизации на основе методов нелинейного программирования
- •6.1 Цель работы
- •6.2 Теоретическое введение
- •6.2.1 Постановка задачи нелинейного программирования
- •6.2.2 Методика выполнения работы
- •6.2.2.1 Примеры задач нелинейного программирования
- •6.2.2.2 Решение задач нелинейного программирования. Градиентные методы. Метод Франка–Вульфа
- •6.2.2.3 Решение задач нелинейного программирования средствами табличного процессора excel
- •6.3 Порядок выполнения работы
- •6.4 Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 7 решение задач оптимизации на основе метода динамического программирования
- •7.1 Цель работы
- •7.2 Теоретическое введение
- •7.2.1 Постановка задачи. Принцип работы метода динамического программирования
- •7.2.2 Методика выполнения работы
- •7.2.2.1 Примеры решения задач на основе метода динамического программирования
- •7.3 Порядок выполнения работы
- •7.4 Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 8 принятие решений в условиях риска и неопределенности
- •8.1 Цель работы
- •8.2 Теоретическое введение
- •8.2.1 Понятие риска и неопределенности. Постановка задачи
- •8.2.2 Методика выполнения работы
- •8.2.2.1 Пример задачи принятия решения
- •8.2.2.2 Методы выбора решений в условиях риска и неопределенности
- •8.3 Порядок выполнения работы
- •8.4 Контрольные вопросы
- •Содержание отчета по лабораторной работе
- •Список литературы
- •Ковтун Нелли Игоревна теория систем и системный анализ
6.2.2 Методика выполнения работы
6.2.2.1 Примеры задач нелинейного программирования
Пример 6.1. Для транспортировки некоторого химиката требуется изготовить контейнеры.
Обозначим высоту контейнера как H, а размеры его основания (длину и ширину) – как L. Тогда для данной задачи можно построить следующую математическую модель:
H1
H3
H∙L2=6
Е = 6∙L2 + 24∙H∙L + 4∙L2 min
Здесь первое и второе ограничения устанавливают, что высота контейнера должна составлять от 1 до 3 м; третье ограничение устанавливает, что емкость контейнера равна 6 м3. Целевая функция Е выражает стоимость контейнера (первое слагаемое – стоимость материала для основания, второе – стоимость материала для стенок, третье – для крышки). Данная задача представляет собой задачу нелинейного программирования: нелинейными здесь являются целевая функция и ограничение на емкость контейнера.
Пример 6.2. Предприятие выпускает электроприборы двух типов (А и В) и запасные части к ним. В комплект запасных частей, выпускаемых вместе с каждым прибором, может входить от трех до шести запасных частей, причем количество запасных частей для всех приборов одного типа должно быть одинаковым. Расход материалов на выпуск приборов и запасных частей следующий.
Таблица 6.2
Материал |
Прибор А |
Запасная часть к прибору А |
Прибор В |
Запасная часть к прибору В |
Провод, см Пластмасса,г |
7 12 |
3 2 |
10 8 |
2 1,5 |
Предприятие имеет возможность израсходовать на выпуск приборов не более 0,6м провода и не более 0,5кг пластмассы.
Прибыль предприятия от выпуска одного прибора А составляет 8 ден.ед, одной запасной части к прибору А – 2 ден.ед., одного прибора В – 9 ден.ед, одной запасной части к прибору В – 1,5 ден.ед.
Требуется определить, сколько приборов каждого типа и запасных частей к ним должно выпустить предприятие, чтобы получить максимальную прибыль.
Введем переменные: x1 – количество приборов типа А; x2 – количество запасных частей к ним; x3 – количество запасных частей в комплекте к одному прибору типа А (соотношение количество запасных частей и приборов типа А); x4 – количество приборов типа В; x5 – количество запасных частей к ним; x6 – количество запасных частей в комплекте к одному прибору типа В (соотношение количество запасных частей и приборов типа В).
Составим математическую модель задачи:
x2 = x1 x3
x36
x33
x5 = Х4Х6
x66
x63
7 x1 + 3 x2 + 10 x4 + 2 x5 60
12 x1 + 2 x2 + 8 x4 + 1,5 x5 500
Хi – целые, i=1,…,6
Хi 0, i=1,…,6
Е=8 x1+ 2 x2 + 9 x4 + 1,5 x5 max
Здесь первое ограничение устанавливает, что общее количество запасных частей к приборам А (x2) должно быть равно произведению количества этих приборов (x1) на количество запасных частей в одном комплекте (x3). Второе и третье ограничения устанавливают, что количество запасных частей к одному прибору типа А должно составлять не менее трех и не более шести. Четвертое, пятое и шестое ограничения имеют тот же смысл, но для приборов типа В. Седьмое и восьмое ограничения устанавливают предельный расход провода и пластмассы. Целевая функция выражает прибыль от выпуска приборов и запасных частей. В этой задаче нелинейными являются первое и четвертое ограничения.
Пример 6.3. Предприятие выпускает электронные изделия двух типов (изделия А и В). На выпуск изделий расходуется платина и палладий. На одно изделие А требуется 13г платины и 8г палладия, на одно изделие В – 6г платины и 11г палладия. Предприятие имеет возможность использовать не более 90г платины и не более 88г палладия.
Изделия А продаются по цене 12 тыс. ден.ед., изделия В – по 10 тыс. ден.ед.
Величины себестоимости изделий (т.е. затраты на их выпуск) зависят от объема их производства и приближенно описываются следующими формулами:
себестоимость одного изделия А: 7 + 0,2 x1, где x1 – объем производства изделий А;
себестоимость одного изделия В: 8 + 0,2 x2, где x2 – объем производства изделий В;
Требуется составить план производства, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль.
Как отмечено выше, объемы производства изделий А и В обозначены через переменные x1 и x2. Составим целевую функцию задачи, выражающую прибыль от производства изделий. Будем считать, что прибыль от продажи одного изделия представляет собой разность его цены и себестоимости.
Прибыль от продажи одного изделия А можно выразить следующей формулой: 12 – (7 + 0,2 x1) = 5 – 0,2 x1. Аналогично выразим прибыль от рподажи одного изделия В: 10 – (8 + 0,2 x2) = 2 – 0,2 x2. Таким образом, целевая функции задачи (прибыль от продажи всех изделий А и В) имеет следующий вид:
Е = (5 – 0,2 x1) x1 + (2 – 0,2 x2) x2 = 5 x1 – 0,2 x12 + 2 x2 – 0,2 x22 max.
Приведем полную математическую модель задачи:
13 x1 + 6 x2 90
8 x1 + 11 x2 88
x1, x2 0
x1, x2 – целые
Е = 5 x1 – 0,2 x12 + 2 x2 – 0,2 x22 max.
Здесь ограничения устанавливают предельный расход платины и палладия.
В этой задаче система ограничений линейная, а целевая функция – нелинейная (квадратичная). Таким образом, данная задача представляет собой задачу нелинейного квадратичного программирования.