5.2.2.4 Транспортные задачи с неправильным балансом

В предыдущих случаях мы рассматривали только такую задачу о перевозках, в которой сумма запасов ровна сумме заявок:

, ( где i=1,...,m ; j=1,...,n ) (5.4.1)

Это классическая транспортная задача, иначе называемая, транспортной задачей с правильным балансом. Встречаются такие варианты транспортной задачи, где условие (5.4.1) нарушено. В этих случаях говорят о транспортной задаче с неправильным балансом.

Транспортные задачи с неправильным балансом – это задачи, в которых сумма запасов товара, имеющихся у поставщиков, не равна сумме величин спроса потребителей.

Все методы решения транспортных задач предназначены для задач с правильным балансом. Поэтому для решения задачи с неправильным балансом ее необходимо привести к правильному балансу, т.е. преобразовать в обычную транспортную задачу с правильным балансом. Способы такого преобразования зависят от постановки задачи. Полученная задача с правильным балансом решается обычными методами, как показано выше.

Баланс транспортной задачи может нарушаться в 2-х направлениях:

1. Сумма запасов в пунктах отправления превышает сумму поданных заявок

, ( где i=1,...,m ; j=1,...,n )

2. Сумма поданных заявок превышает наличные запасы

, ( где i=1,...,m ; j=1,...,n )

Условимся первый случай называть “Транспортной задачей с избытком запасов“, а второй — “Транспортной задачей с избытком заявок”.

Рассмотрим последовательно эти два случая:

5.2.2.4.1 Транспортная задача с избытком запасов

В пунктах СК₁, СК_2, …СК_м имеются запасы груза A₁, A₂, ... , A_m; пункты МГ₁, МГ₂, …, МГ_N подали заявки B₁, B₂, ... , B_n, причем

, ( где i=1,...,m ; j=1,...,n )

Требуется найти такой план перевозок (X), при котором все заявки будут выполнены, а общая стоимость перевозок минимальна.

Очевидно, при этой постановке задачи некоторые условия-равенства транспортной задачи превращаются в условия-неравенства, а некоторые — остаются равенствами.

_n

∑X_i,j ≤ А_i (i=1, ... , m);

^j=1

_M

∑ X_i,j = В_j (j=1, ... , n).

ⁱ⁼¹

Мы умеем решать задачу линейного программирования, в какой бы форме — равенств или неравенств не были бы заданы ее условия. Поставленная задача может быть решена, например, обычным симплекс-методом. Однако задачу можно решить проще, если искусственным приемом свести ее к ранее рассмотренной транспортной задаче с правильным балансом. Для этого, сверх имеющихся n пунктов назначения МГ₁, МГ₂, …, МГ_N, введём ещё один, фиктивный, пункт назначения МГ_N+1, которому припишем фиктивную заявку, равную избытку запасов над заявками:

( где i=1,...,m ; j=1,...,n ) ,

а стоимость перевозок из всех пунктов отправления в фиктивный пункт назначения МГ_N+1 будем считать равным нулю. Введением фиктивного пункта назначения МГ _N+1 с его заявкой МГ _N+1 мы сравняли баланс транспортной задачи и теперь его можно решать как обычную транспортную задачу с правильным балансом.

Если требуется обеспечить вывоз всего товара у какого-либо поставщика, то стоимость перевозки товара от этого поставщика фиктивному потребителю принимается равной очень большому числу.

Если требуется распределить излишек товара по всем поставщикам, то запасы товара у всех поставщиков искусственно уменьшаются. Для этого необходимо умножить все величины запасов на коэффициент . Вводить фиктивного потребителя в этом случае не требуется.