3.2.2.2 Анализ оптимального решения на чувствительность

Задачи линейного программирования, для решения которых применяются методы искусственного базиса, очень разнообразны по своему содержанию. Методы анализа на чувствительность, используемые для таких задач, и интерпретация результатов полностью зависят от постановки задачи.

Анализ на чувствительность к изменениям правых частей ограничений «меньше или равно»

Для анализа влияния таких изменений на оптимальное решение используются коэффициенты из столбца остаточной переменной, входящей в изменившееся ограничение. Анализ выполняется точно так же, как показано в п. 2.2.2.6

Рассмотрим анализ на чувствительность к изменению ограничения на выпуск изделий С для примера 3.1. Предположим, что спрос на изделия С изменился, в результате чего максимально допустимый выпуск этих изделий составляет не 300, а 300 + d штук. Для составления уравнений, позволяющих найти новое оптимальное решение, необходимо использовать коэффициенты из столбца переменной x₆. Новое оптимальное решение можно найти следующим образом:

x₁ = 50 + 0d

x₃ = 100 + 0d

x₅= 200 + 0d (3.13)

x₆ = 100 + 1d

–E = – 2700 + 0d

Из этих уравнений видно, что изменения ограничения на выпуск изделий С (если эти изменения не выходят за определенный диапазон) не приведут к каким-либо изменениям в решении задачи. Количество листов, раскраиваемых различными способами, а так же количество отходов (целевая функция) останутся без изменений. Будет изменяться только переменная x₆, т.е. разность между фактическим и максимально допустимым выпуском изделий С.

Можно так же определить диапазон изменений ограничения, при котором состав переменных в оптимальном базисе остается прежним. Этот диапазон находится из условия неотрицательности всех переменных:

x₁ = 50 + 0d ≥ 0

x₃= 100 + 0d ≥ 0

x₅= 200 + 0d ≥ 0 (3.14)

x₆ = 100 + 1d ≥ 0

Решив эту систему неравенств, получим: –100 ≤ d ≤ ∞. Это означает, что базис оптимального решения будет состоять из переменных x₁ , x₃, x₅, x₆, если ограничение на выпуск изделий С будет составлять не менее 200 шт. Если это ограничение составит менее 200 штук, то для получения нового оптимального решения потребуется решить задачу заново. В этом случае новое оптимальное решение будет отличаться от прежнего не только значениями, но и составом переменных в оптимальном базисе.

Анализ на чувствительность к изменениям правых частей ограничений «больше или равно»

Для анализа влияния таких изменений на оптимальное решение используются коэффициенты из столбца избыточной переменной, входящей в изменившееся ограничение, причем эти коэффициенты используются с обратными знаками. В остальном анализ выполняется так же, как и для ограничений «меньше или равно».

Рассмотрим анализ на чувствительность к изменению ограничений на выпуск изделий А для примера 3.1. Предположим, что минимально необходимый выпуск этих изделий составляет не 400, а 400 + d штук. Такое изменение может быть связано, например, с заключением новых контрактов на поставку изделий А или, наоборот, со снижением спроса на эти изделия. Для составления уравнений, позволяющих найти новое оптимальное решение, необходимо использовать коэффициенты из столбца переменной x₄, взятые с обратными знаками. Новое оптимальное решение можно найти из следующих уравнений:

x₁ = 50 + 0,5d

x₃ = 100 – 0,5d

x₅= 200 – 1,5d (3.15)

x₆ = 100 – 0,5d

–E = – 2700 – 1,5d

Пусть, например, предприятию необходимо выпустить не менее 420 изделий А. Для определения нового оптимального решения достаточно подставить в уравнения (3.15) величину d = 20 (т.к. ограничение на выпуск изделий А увеличилось по сравнению с первоначальной постановкой задачи на 20 штук). Новое оптимальное решение оказывается следующим: x₁= 60, x₃ = 90, x₅= 170, x₆ = 90, –E = –2730. Это означает, что в новых условиях (при потребности в выпуске не менее 420 изделий А) предприятию необходимо раскроить 60 листов первым способом и 90 листов третьим способом. Отходы составят 2730 см². Изделий А будет выпущено ровно столько, сколько необходимо, т.е. 420 (избыточная переменная x₄, означающая выпуск изделий А сверх минимально необходимого количества, остается небазисной, т.е. равна нулю). Изделий В будет выпущено на 170 штук больше минимально необходимого количества, т.е. 250 + 170 = 420. Выпуск изделий С составит на 90 штук меньше максимально допустимого количества, т.е. 300 – 90 = 210.

Диапазон изменений ограничения, при котором состав переменных в оптимальном базисе остается прежним, определяется из условия неотрицательности всех переменных:

x₁ = 50 + 0,5d ≥ 0

x₃ = 100 – 0,5d ≥ 0

x₅= 200 – 1,5d ≥ 0 (3.16)

x₆ = 100 – 0,5d ≥ 0

Решив эту систему неравенств, получим: –100 ≤ d ≤ 133,33. Это означает, что базис оптимального решения будет состоять из переменных x₁, x₃, x₅, x₆, если ограничение, устанавливающее минимально необходимый выпуск изделий А, будет составлять от 400 – 100 до 400 + 133,33, т.е. от 300 до 533 штук (это ограничение не может быть дробным числом). Если это ограничение составит менее 300 штук или более 533 штук, то для получения нового оптимального решения потребуется решить задачу заново.

Анализ на чувствительность к изменениям коэффициентов целевой функции

Для анализа влияния таких изменений на оптимальное решение используются коэффициенты из строки переменной, для которой изменился коэффициент целевой функции. Если целевая функция в постановке задачи подлежит максимизации, то анализ выполняется точно так же, как показано в п. 2.2.2.4 Если целевая функция подлежит минимизации, то анализ выполняется аналогично, однако коэффициенты из строки переменной используются с обратными знаками.

Как указано в п. 2.2.2.4, изменение коэффициента целевой функции (в пределах определенного диапазона) не приводит к изменениям в оптимальном решении задачи. Изменяется только значение целевой функции, а так же коэффициенты Е-строки при небазисных переменных в окончательной симплекс-таблице.

Будем обозначать коэффициенты Е-строки в окончательной симплекс-таблице как Fj, j = 1, …, k (где k – общее количество переменных в задаче).

Выполним анализ на чувствительность к изменению отходов от раскроя листа первым способом. Предположим, что величина отходов составляет не 20, а 20 + d см². Такое изменение может быть связано, например, с использованием листов другого размера или с изменением самого способа раскроя. Величина d может быть как положительной, так и отрицательной. Чтобы составить уравнения, позволяющие найти новые значения элементов Е-строки для окончательной симплекс-таблицы, необходимо использовать коэффициенты из строки переменной х₁, взятые с обратными знаками:

F2 = 3,5 – 1,5d

F4 = 1,5 + 0,5d (3.17)

–E = –2700 – 50d,

где F2, F4 – новые значения коэффициентов Е-строки при небазисных переменных в окончательной симплекс-таблице.

Пусть, например, отходы от раскроя одного листа первым способом составляют не 20, а 22 см². Подставив в уравнения (3.17) величину d = 2, найдем новые значения коэффициентов Е-строки в окончательной симплекс-таблице: F2 = 0,5, F4 = 2,5. Новое оптимальное значение целевой функции 2800 см². Значения коэффициентов Е-строки при небазисных переменных (F1, F3, F5, F6) останутся равными нулю. Так как все коэффициенты Е-строки остаются неотрицательными, оптимальное решение задачи не изменяется: x₁ = 50, x₂ = 0, x₃ = 100. Это означает, что в новых условиях (когда отходы от раскроя одного листа первым способом составляют 22 см²) предприятию по прежнему следует раскраивать 50 листов первым способом и 100 листов третьим способом. Выпуск изделий так же изменится: изделий А будет выпущено 400 штук, изделий В 450 штук, изделий С 200 штук. Отходы составят 2800 см².

Найдем диапазон величины отходов от раскроя одного листа, для которого найденное решение задачи (x₁ = 50, x₂ = 0, x₃ = 100, x₄ = 0, x₅ = 200, x₆ = 100) останется оптимальным. Этот диапазон определяется из условия неотрицательности всех коэффициентов Е-строки:

F2 = 3,5 – 1,5d ≥ 0 (3.18)

F4 = 1,5 + 0,5d ≥ 0

Решив эту систему неравенств, получим: –3 ≤ d ≤ 2,33. Это означает, что найденное для задачи решение (x₁ = 50, x₂ = 0, x₃ = 100, x₄= 0, x₅= 200, x₆ = 100) оптимально, если отходы от раскроя одного листа первым способом составляют от 20 – 3 до 20 + 2,33 см², т.е. от 17 до 22,33 см².

Для любой величины отходов, входящей в этот диапазон, новые значения коэффициентов Е-строки и целевой функции можно найти из уравнений (3.17).

Аналогично можно определить, что оптимальное решение задачи не изменится, если отходы от раскроя одного листа третьим способом будут составлять от 10 до 20 см². Для определения этого диапазона потребуется использовать коэффициенты из строки переменной x₃. Если изменится величина отходов от раскроя листа вторым способом, то для определения оптимального решения необходимо решать задачу заново (т.к. переменная Х2 не входит в базис, и анализ на чувствительность для коэффициента целевой функции при этой переменной не возможен).

Если коэффициент целевой функции выходит за найденный диапазон, то для получения оптимального решения необходимо решить задачу заново, используя симплекс-метод. Новое оптимальное решение будет отличаться от прежнего не только значениями, но и составом переменных в оптимальном базисе. При этом прежнее решение (т.е. оптимальное решение исходной задачи) уже не будет оптимальным, но останется допустимым, т.к. оно удовлетворяет ограничениями задачи.

Например, если отходы при раскрое одного листа первым способом составят 24 см², то для получения оптимального плана раскроя листов необходимо решить задачу заново, изменив целевую функцию следующим образом:

Е= 24 x₁ + 25 x₂ + 17 x₃→min.

Прежнее оптимальное решение (x₁ = 50, x₂ = 0, x₃ = 100) уже не является оптимальным. В этом легко убедиться, подставив величину d = 4 в систему уравнений (3.17): коэффициент Е – строки при переменной x₂ принимает значение –2,5, т.е. становится отрицательным, что является признаком не оптимальности решения. В то же время прежнее решение остается допустимым, т.к. значение x₁= 50, x₂= 0, x₃ = 100 удовлетворяют ограничениям задачи (3.1).