Раздел 8

641.C3. Имеются две кучи камней, в одной из которых 1, а в другой — 4 камня.

Двум игрокам предлагается игра по следующим правилам. Каждый игрок обеспечивается неограниченным запасом камней. Играющие ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок производит одно из возможных действий: или утраивает число камней в одной из куч, или увеличивает на 3 количество камней в какой-либо куче.

Выигрывает тот игрок, после хода которого суммарное число камней в двух кучах становится равным 22 или более камней. Кто выиграет при безошибочной игре обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Как должен ходить выигры- вающий игрок?

642.C3. Имеются две кучи камней, в одной из которых 3, а в другой — 2 камня. Двум игрокам предлагается игра по следующим прави- лам. Каждый игрок обеспечивается неограниченным запасом кам- ней. Играющие ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок производит одно из возможных действий: или удваивает число камней в одной из куч, или увеличивает на 3 количество камней в какой-либо куче.

643.СЗ. Имеются две кучи камней, в одной из которых 1, а в другой — 2 камня. Двум игрокам предлагается игра по следующим правилам. Каждый игрок обеспечивается неограниченным запасом камней. Иг- рающие ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок производит одно из возможных действий: или утраивает число камней в одной из куч, или увеличивает на 2 количество камней в какой-либо куче.

Выигрывает тот игрок, после хода которого суммарное число камней в двух кучах становится равным 19 или более камней. Кто выиграет при безошибочной игре обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Как должен ходить выигры- вающий игрок?

644.СЗ. Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка на- ходится в точке с координатами (3, 2). Ход состоит в том, что иг- рок перемещает фишку из точки с координатами (х9 у) в одну из трех точек: или в точку с координатами (х + 3, у)9 или в точку с координатами (х9 у + 2), или в точку с координатами (х9 у + 4).

Выигрывает игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами (0, 0) больше 12 единиц. Кто вы- играет при безошибочной игре обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Как должен ходить выигрывающий игрок?

645.СЗ. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 6, а во второй — 5 камней. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок увеличивает или в 2 раза, или в 3 раза число камней в какой-то куче. Выигрывает игрок, после хода кото- рого общее число камней в двух кучах становится не менее 48 кам- ней. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков — иг- рок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

646.C3. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 2, а во второй — 3 камня- У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок увеличивает или в 2 раза, или в 3 раза число камней в какой-то куче. Выигрывает игрок, после хода которого в одной из куч становится не менее 20 кам- ней. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков — иг- рок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

647.C3. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две куч- ки камней, в первой из которых 1, а во второй — 2 камня. У каж- дого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очере- ди. Ход состоит в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в какой-то куче, или добавляет 4 камня в какую-то кучу.

Выигрывает игрок, после хода которого в одной из куч становится не менее 20 камней. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков - игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игро- ка? Ответ обоснуйте.

648.C3. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 3, а во второй — 6 камней. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или удваивает число камней в какой-то куче, или добавляет 2 камня в какую-то кучу. Выигрывает игрок, после хо- да которого общее число камней в двух кучах становится не менее 24 камней. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков — иг- рок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

649.C3.Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка на- ходится в точке с координатами (3, -5). Ход состоит в том, что иг- рок перемещает фишку из точки с координатами (х, у) в одну из трех точек: или в точку с координатами (х + 3, у), или в точку с координатами (х, у + 4), или в точку с координатами (х, у + 5).

Выигрывает игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами (0, 0) больше 9 единиц. Кто выиг- рывает при безошибочной игре обоих игроков - игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

650.C3. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 2, а во второй - 3 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или удваивает число камней в какой-то ку- че, или добавляет 3 камня в какую-то кучу. Выигрывает игрок, по- сле хода которого в одной из куч становится не менее 15 камней. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков - игрок, де- лающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Как должен ходить выигрывающий игрок? Ответ обоснуйте.

651.C3. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 3, а во второй - 4 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Ходят игроки по очереди. Делая очередной ход, игрок или увеличивает в какой-то кучке число камней в 2 раза, или добавляет в какую-то кучку 3 камня. Выигрывает тот игрок, после хода которого общее число камней в двух кучках становится не менее 23. Кто выиграет — игрок, делающий ход первым, или игрок/делающий второй ход?

652.C3. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат три кучки камней, в первой из которых 2, во второй - 3 камня. У каждого игрока неограниченное количество камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или увеличивает число камней в какой-то куче в 3 раза, или.добавляет 3 камня в любую из куч. Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах становится не менее 33. Кто выигрывает - игрок, делающий ход первым, или. игрок, делающий ход вторым?

653.C3.Даны две горки фишек, содержащих соответственно 2 и 4 фишки. За один ход разрешаетсяили удвоить количество фишек в какой-нибудь горке, или добавить по две фишки в каждую из двух горок. Выигрывает тот игрок, после чьего хода в двух горках суммарно становится не менее 24 фишек. Игроки ходят по очереди. Кто выигрывает — игрок, делающийход первым, или игрок, делающий ход вторым?

654.C3. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки фишек, в первой из которых 3, а во второй - 5 фишек. У каждого игрока неограниченно много фишек. Ходят игроки по очереди. Делая очередной ход, игрок или увеличивает в какой-то кучке число фишек в 2 раза, или добавляет в какую-то кучку 2 фишки. Выигрывает тот игрок, после хода которого общее число фишек в двух кучках становится не менее 23. Кто выиграет - игрок, делающий ход первым, или игрок, делающий второй ход?

655.C3. Даны три кучи камней, содержащих соответственно 3,4, и 5 камней. За один ход разреша ется или удвоить количество камней в меньшей куче (если таких две - то лишь в одной из них), или добавить 2 камня в большую из куч (если таких две - то лишь в одну из них). Выигрывает тот игрок, после хода которого во всех трех кучах суммарно становится не менее 23 камней. Игроки ходят по очереди. Выяснить, кто выигрывает при правильной игре - первый или второй игрок.

656.C3. Даны три кучи камней, содержащих соответственно 2,3 и 4 камня. За один ход разрешает ся или удвоить количество камней в меньшей куче (если их две - то в каждой из них), или добавить по 1 камню в каждую из всех трех куч. Выигрывает тот игрок, после хода которо- го во всех трех кучах суммарно становится не менее 23 камней. Игроки ходят по очереди. Выяснить, кто выигрывает при правильной игре - первый или второй игрок.

657.СЗ. Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка находится в точке с координатами (—2; 1). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (х; у) в одну из трёх точек: или в точку с координатами (х + 4; у), или в точку с координатами (я; у+3), или в точку

с координатами (х + 2; у + 2). Выигрывает игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами (0; 0) больше 9 единиц.

Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков — игрок, дела- ющий первый ход, или его партнёр? Каким должен быть первый ход выиг- рывающего игрока? Ответ обоснуйте.

658.СЗ. Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка находится в точке с координатами (0,1). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (ж, у) в одну из трех точек: или в точку с координатами (2 * я, у 4- 4), или в точку с координатами (х + 4,2 * у), или в точку с координатами (ж + 1, у + 1). Выигрывает игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами (0,0) не меньше 15 единиц.

Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков — тот, кто де- лает первый ход, или игрок, который делает второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

659.СЗ. На столе лежат карточки с числами от 1 до 9. Двое играют в игру За один ход берётся одна карточка. Выигрывает тот, у кого есть три карточки с общей суммой 15. Кто выигрывает при правильной игре?

660.СЗ. На столе лежат 2 кучи орехов, в каждой из которых 12 и 17 орехов со- ответственно. За один ход разрешается взять произвольное число орехов, но только из одной кучи, либо равное число орехов одновременно из обе- их куч. Выигрывает тот, кто возьмёт последний орех. Кто выигрывает при правильной игре?

661.СЗ. Два игрока играют в "Верёвку". Игроки ходят по очереди. В начале игры верёвка имеет длину 14 см. Ход состоит в том, что игрок отрезает от верёвки кусок длиной 3 или 4 см. Выигрывает тот игрок, на чьём ходе за- кончится верёвка (последний выигрышный ход может быть < 3). Кто вы- играет при безошибочной игре двух игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Ответ обоснуйте.

662.СЗ. Даны три горки фишек, содержащие соответственно 3,2 и 1 фишку. За один ход разрешается или утроить количество фишек в какой-нибудь горке, или добавить по три фишки в каждую из трёх горок. Выигрывает тот игрок, после чьего хода в каких-либо двух горках суммарно становится не менее 30 фишек. Два игрока ходят по очереди. Кто выигрывает при без- ошибочной игре обоих игроков — начинающий или второй игрок? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

663.СЗ. Даны две горки фишек, содержащих соответственно 3 и 1 фишку. За один ход разрешается или удвоить количество фишек в какой-нибудь гор- ке, или добавить одновременно по четыре фишки в каждую из двух горок. Выигрывает тот игрок, после чьего хода в двух горках суммарно становится-

не менее 30 фишек. Игроки ходят по очереди. Кто выигрывает — игрок, делающий ход первым, или его партнёр? Каким должен быть выигрышный ход? Ответ обоснуйте.

664.СЗ. В корзине 44 банана. Двое по очереди забирают по 1,2,5 или 6 бана- нов. Проигрывает тот: а) кто взял последний банан; б) кто не может сде- лать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

665.СЗ. Даны две кучки из 7 и 13 камней. Играют двое. За ход можно взять любое количество камней от 1 до 4, но только из одной кучки. Проигры- вает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

666.СЗ. Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка находится в точке с координатами (3,2). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (я, у) в одну из трёх точек: или в точку с координатами (х +1, у), или в точку с координатами (х+2, у), или в точку с координатами (х, у + 2). Выигрывает игрок, после хода которого рас- стояние от фишки до точки с координатами (0,0) не меньше 8 единиц. Кто выигрывает при правильной игре. Каким должен быть первый ход выиг- рывающего игрока? Ответ обоснуйте.

667.СЗ. Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка находится в точке с координатами (2,3). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (х, у) в одну из трёх точек: или в точку с координатами (х + 2, у), или в точку с координатами (х + 1,у + 2), или в точку с координатами (х, у 4- 3). Выигрывает игрок, после хода которого фишка достигнет (или пересечёт) прямую у = 14 - х. Кто выигрывает при правильной игре. Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

668.СЗ. Имеются две кучки камней. В одной 5 камней, а в другой — 2 кам- ня. Двое играющих берут по очереди камни. Разрешается взять один ка- мень из любой кучки или по одному камню из обеих кучек. Выигрывает

взявший последние камни. Кто выигрывает при правильной игре. Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

669.СЗ. Имеются три кучки камней, в которых находятся 4, 3 и 2 камня соот- ветственно. Двое играющих берут по очереди камни. Разрешается взять один камень из любой кучки или по одному камню из всех трёх кучек. Вы- игрывает взявший последние камни. Кто выигрывает при правильной иг- ре. Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обос- нуйте.

670.СЗ. Два человека играют в следующую игру. На доске записано число 3. Ход состоит в том, что текущее число х на доске стирается, а вместо него записывается одно из трёх чисел: х+З или 2х-2. Выигрывает игрок, после хода которого на доске оказывается число больше 15. Кто выигры- вает при безошибочной игре обоих игроков — начинающий или второй игрок? Ответ обоснуйте.

671.СЗ. Два игрока играют в следующую игру. На доске записано число 2. Ход состоит в том, что текущее число х на доске стирается, а вместо него за- писывается одно из трёх чисел: х + 3, х + 5 и 2х. Выигрывает игрок, после хода которого на доске оказывается число, большее 20. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков — начинающий или второй игрок? Ответ обоснуйте.

672.СЗ. Два участника играют в следующую игру. Один называет любое це- лое число от 1 до 5. Другой прибавляет к этому числу 1 или 2. Дальше оба продолжают прибавлять к полученному числу 1 или 2 по очереди. Выиг- рывает тот, кто первым получит число 10. Кто выигрывает при правильном ходе игры? Ответ обоснуйте.

673.СЗ. Два игрока играют в следующую игру. Один называет любое целое число от 1 до 5. Другой прибавляет к этому числу 3, 4 или 5. Дальше оба продолжают прибавлять к полученному числу 3,4 или 5 по очереди. Вы- игрывает тот, кто первым получит число, которое больше 14. Кто выигры- вает при правильном ходе игры? Ответ обоснуйте.

674.СЗ. Два участника играют в игру «Три кучки». В их распоряжении есть три кучки камней. Каждым ходом игрок может взять от 1 до 3 камней, но только из одной из трёх кучек. Проигрывает тот, кто взял последний ка- мень. Укажите, у какого из игроков есть выигрышная стратегия, и опи- шите её, если известно, что изначально в первой кучке было 3 камня, во второй тоже 3, а в третьей — 2.

675.СЗ. Два участника играют в игру "Дойти до финиша". В их распоряжении трасса в виде 30 полей, расположенных полосой, и одна фишка. В нача- ле игры фишка стоит на первом поле, и игроки переддигают её по очере- ди. Кто из игроков поставит фишку на последнюю клетку, тот и считается

победителем. Определите, у кого из игроков есть выигрышная стратегия, если оба игрока могут сдвигать фишку на одно, два или три поля за один ход. Опишите выигрышную стратегию.

Примечание. Оба игрока стремятся выиграть и поэтому не делают за- ведомо проигрышные ходы. Говорят, что у игрока есть выигрышная стра- тегия, если он может играть так, чтобы победить при любых действиях оп- понента.

676.C3. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 2, а во второй - 3 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или удваивает число камней в какой-то ку- че, или добавляет 3 камня в какую-то кучу. Выигрывает игрок, по- сле хода которого в одной из куч становится не менее 15 камней. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков - игрок, де- лающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Как должен ходить выигрывающий игрок? Ответ обоснуйте.

677.СЗ. Два игрока играют в "Верёвку". Игроки ходят по очереди. В начале игры верёвка имеет длину 18 см. Ход состоит в том, что игрок отрезает от верёвки кусок длиной 4 или 5 см. Выигрывает тот игрок, на чьём ходе за- кончится верёвка (последний выигрышный ход может быть < 4). Кто вы- играет при безошибочной игре двух игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Ответ обоснуйте.