Тема 3. Численное дифференцирование и интегрирование
Содержание лекции |
Содержание лабораторной работы |
Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе интерполяционных многочленов. Оценка погрешности численного дифференцирования в точке, не лежащей внутри отрезка интерполирования. Численное вычисление первой производной во внутреннем узле таблицы. Общий случай вычисления производной произвольного порядка. Метод неопределенных коэффициентов. Неустранимая погрешность формул численного дифференцирования. Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла, формула прямоугольников. Формулы Ньютона-Котеса. Метод неопределенных коэффициентов. Формула трапеций. Практическая оценка погрешности квадратурных формул. Формула Симпсона. Квадратурная формула Гаусса, оценка порядка убывания погрешности. Вычислительная погрешность квадратурных формул. Метод Монте–Карла. Численное интегрирование на ЭВМ. |
Постановка задачи. Интерполяционный многочлен Лагранжа и интерполяционный многочлен Ньютона. Численное дифференцирование с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона. Метод трапеции, метод Симпсона Численное интегрирование методами трапеции и Симпсона (парабол) |
Задание 1.
Вычислить значение производной функции, заданной таблично, используя интерполяционные формулы Лагранжа или Ньютона.
Задание 2.
Вычислить интеграл от заданной функции f(x) на отрезке [a,b] при делении отрезка на 10 равных частей следующими способами 1) по формуле трапеций; 2) по формуле Симпсона.
Исполнение: применить интерполяционные формулы Лагранжа или Ньютона используя любой инструментальный пакет для вычисления производной. Использовать формулы трапеции и формулы Симпсона для вычисления определенного интеграла.
Лабораторная установка: Персональный компьютер с ОС Windows, MS Office, MathCad.
Оценка: Сопоставление полученных результатов, решаемых различными методами.
Время выполнения работы: 4 часа.
Методические указания
Контрольные вопросы и задания
Вычислить значение производной функции, заданной таблично, используя интерполяционные формулы Лагранжа или Ньютона.
Вариант 1,5,9
X |
sin x |
0,60 |
0,56464 |
0,65 |
0,60519 |
0,70 |
0,64422 |
0,75 |
0,68164 |
0,80 |
0,71736 |
0,85 |
0,75128 |
0,90 |
0,78333 |
0,95 |
0,81342 |
1,00 |
0,84147 |
1,05 |
0,86742 |
1,10 |
0,89121 |
Вариант 2, 6,10
X |
cos x |
0,05 |
0,99375 |
0,10 |
0,99500 |
0,15 |
0,99877 |
0,20 |
0,98007 |
0,25 |
0,96891 |
0,30 |
0,95534 |
0,35 |
0,93937 |
0,40 |
0,92106 |
0,45 |
0,90045 |
0,50 |
0,87758 |
0,55 |
0,85252 |
Вариант 3,7,11
X |
sin x |
1,10 |
0,89121 |
•1,15 |
0,91276 |
1,20 |
0,93204 |
1,25 |
0,94898 |
1,30 |
0,96356 |
1,35 |
0,97572 |
1,40 |
0,98545 |
1,45 |
0,99271 |
1,50 |
0,99749 |
1,55 |
0,99973 |
1,60 |
0,99957 |
Вариант 4,8,12
X |
COSX |
1,00 |
0,54090 |
1,05 |
0,49757 |
1,10 |
0,45360 |
1,15 |
0,40849 |
1,20 |
0,36236 |
1,25 |
0,31532 |
1,30 |
0,26750 |
1,35 |
0,21901 |
1,40 |
0,16997 |
1,45 |
0,12050 |
1,50 |
0,07074 |
Задание 2.
Вычислить интеграл от заданной функции f(x) на отрезке [a,b] при делении отрезка на 10 равных частей следующими способами 1) по формуле трапеций; 2) по формуле Симпсона.
Отрезок интегрирования разбивается на 10 равных частей. Для расчетов удобно составить единую таблицу значений по схеме:
Xi |
у /2 (1=0, 10) |
yi (i=l, 2, 3, ..., 9) |
2 yi (i=1, 3, 5, 7, 9) |
|
|
|
|
По каждому из трех столбцов таблицы находятся суммы соответствующих значений подынтегральной функции (при этом по столбцу у,- для формулы трапеций находится сумма всех элементов столбца, а для формулы Симпсона — только с четными индексами).
Вариант |
т |
a |
b |
1 |
0,37esinx |
0 |
1 |
2 |
0, 5 + х lg x |
1 |
2 |
3 |
(x + l,9)sin(x/3) |
1 |
2 |
4 |
|
2 |
3 |
5 |
|
0 |
1 |
6 |
(2x + 0,6)cos(x/2) |
1 |
2 |
7 |
2, 6x2 In x |
1,2 |
2,2 |
8 |
(x2 + l)sin(x-0,5) |
0,5 |
1,5 |
9 |
x2 cos(x / 4) |
2 |
3 |
10 |
|
3 |
4 |
11 |
3x + In x |
1 |
2 |
12 |
|
-1 |
0 |
ln(x
+ 2)
