1.7. Отображения

Для соответствия q=(X,Y,Г) ГXY, Пр₁ГX. Рассмотрим случай, когда Пр₁Г=X, т.е. тройка множеств (X,Y,Г) определяет соответствие, для которого область определения Пр₁Г совпадает с областью отправления Х. То есть для всякого хХ существует такой элемент yY, что двойка (х, y) Г.

Соответствие, определенное на всяком хХ, называется отображением Х в Y и формально записывается в виде q=(X, Y, Г) или Г: ХY, где Г – закон, в соответствии, с которым осуществляется соответствие.

Если отображение неоднозначно, т.е. элементу хХ можно поставить в соответствие несколько элементов из множества Y, то в данном случае отображение Г элементу хХ ставит в соответствие некоторое подмножество Гх, причем ГхY, а Гх называется образом элемента х.

Пример: Пусть на экзамен явилось множество студентов S={s₁,s₂,…,s_n}. На экзамене каждому студенту может быть поставлена одна из множества оценок С={с₁,с₂,с₃,с₄}, где С={“неуд.”, “удовл.”, “хорошо”, “отлично”}.

Говоря языком теории множеств, (по закону Г – уровень знаний студентов) модель результатов экзамена будет представлена отображением (каждому элементу множества С сопоставляется элемент множества S) - Г: СS.

Таким образом, каждой оценке С_i из множества С будут сопоставлены в соответствие некоторые подмножества студентов ГС₁, ГС₂, ГС₃, ГС₄, ГС_iS.

Пусть АХ. Образом ГА множества А называется совокупность элементов множества Y, которые являются образами Гх для всех хА.

В рассмотренном выше примере существует подмножество оценок П={с₂, с₃, с₄}, получив которые на экзамене, студент не считается задолжником по данному курсу. Тогда образом множества П будет множество ГПS, которое состоит из студентов, не имеющих к концу экзамена задолженности по данному курсу.

Рассмотрим свойства отображений.

Согласно сделанному выше определению, формально

.

Если А₁ и А₂ – подмножества Х, то образом множества, которое является объединением множества А1 и А₂, является объединение образов множеств А₁ и А₂. Формально это запишется в виде Г(А₁А₂)=ГА₁ГА₂.

Если А₁Х и А₂Х, то образ множества, которое является пересечением множеств А₁ и А₂, входит в множество, являющееся пересечением образов множеств А₁ и А₂. Формально это можно записать в виде Г(А₁А₂)ГА₁ГА₂. Если же отображение Г: ХY является однозначным, то Г(А₁А₂)=ГА₁ГА₂. Очевидно, что если А₁Х, А₂Х,…, А_nХ, то

.

Для отображения имеет место понятие обратного отображения: q^-1=(Y, X, Г_-1) или Г^-1: YX, т.е. существует соответствие, при котором определяются элементы хХ, с которыми сопоставляются элементы yY. Аналогично существует понятие композиции отображений.

Рассмотрим случай, когда множества Х и Y совпадают, т.е. отображение Г: ХY есть отображение множества Х самого в себя и формально определяется парой (Х, Г), где ГХ² (ГХХ).

Пусть имеется два некоторых множества Г и , каждое из которых есть отображение Х в Х, т.е. Г: ХХ и : ХХ. Композиция этих отображений ГА будет иметь вид: (Г)х=Г(х), или при Г= получим Гх²=Г(Гх)=Г:ГхГх, т.е. Гх²ГхГхY.

Очевидно, что Гх³=Г(Гх²), Гх⁴=Г(Гх³) и т.д., т.е. при i2 Гхⁱ=Г(Гх^i-1). Если ввести соотношение Гх⁰=х, т.е. отображение Г⁰ элементу хХ ставит в соответствие тот же элемент хХ, то и для i с отрицательным знаком имеем Гх⁰=Г(Г^х-1), Г^-i=Г^-1(Гх_i-1), когда i-2. Отображения на одном множестве широко применяются в теории графов.