3.6. Агрегация локальных выводов и дефазификация

Множество локальных выводов , определенных правилами R_i, определяется в один общий вывод операцией агрегации (aggregation). Общий вывод характеризует базу правил .

Рис. 3.11

Операция агрегации в символическом виде определена следующим образом:

R_i: если …, тогда (нечеткое множество известно) ? нечеткое множество для базы правил , где символ ? обозначает «найти».

Существуют несколько подходов к решению данной задачи [11]. Расмотрим два из них.

При первом подходе в экспертных системах вначале получают выводы по каждому из правил, а затем комбинируют эти выводы в общий вывод , исходя из определенных алгоритмов.

При другом подходе вначале комбинируют все правила R_i, а затем получают вывод из этой комбинации, который принимается за общий вывод для базы правил .

Теория нечетких множеств позволила доказать, что при применении базиса Заде для вычисления операций нечетких «И», «ИЛИ» и нечеткой импликации эти два подхода при получении общего вывода дают эквивалентные результаты:

,

где - объединение локальных выводов в виде нечетких множеств .

Для характеристики процесса обработки на ЭВМ нечеткой информации принята единица быстродействия – FLIPS (число нечетких локальных выводов/сек). В настоящее время созданы нечеткие контроллеры с быстродействием 410⁷ FLIPS.

Рассмотрим пример получения общего вывода на основе локальных выводов , . На рис. 3.12 показан процесс получения вывода .

Рис. 3.12

База правил содержит всего три правила:

R₁: если x= и y= , тогда z= ;

R₂: если x= и y= , тогда z= ;

R₃: если x= и y= , тогда z= ,

где - нечеткие множества, заданные своими функциями принадлежности. Нечеткие логические операции «И» и «ИЛИ» заданы по Заде. Функции принадлежности выводов определятся по формулам:

,

,

.

Функция принадлежности общего вывода определится формулой

.

Необходимо преобразовать результат нечеткого общего вывода в физическую переменную. Это происходит с применением операции дефазификации (defuuzzification – dfz). Для выполнения операции dfz применяют различные методы. Рассмотрим некоторые из них.

Преобразование общего вывода в физическую переменную может быть сделано с помощью техники усреднения функции принадлежности _B(z) с применением метода центра тяжести (center of gravity - cog) на основе формул:

 - аналоговое задание _B(z),

 - дискретное задание _B(z),

где N – число разбиений при дискретизации функции принадлежности _B(z).

Метод центра тяжести cog при задании функции принадлежности _B(z₁,z₂,…, z_n) в n–мерном пространстве позволяет определить численное значение i–й координаты по формуле:

,

где Z – произведение пространств.

На рис. 3.13 приведен пример дефазификации методом cog функции принадлежности _B(z), полученной в вышеприведенном примере (см. рис. 3.12).

Рис. 3.13

а – непрерывный cog; б – дискретный cog.

Достаточно широко распространен такой метод дефазификации, как метод центра области (center of area - coa), называемый еще методом медиана. Площадь под функцией принадлежности _B(z) разбивается на две равные части, так что:

.

Метод медианы показан на рис. 3.14.

Рис. 3.14

Метод медианы может быть обобщен при задании функции принадлежности _B(z₁,z₂,…, z_n) в n–мерном пространстве. Например, для двухмерного задания функции принадлежности _B(z₁,z₂) определение z_coa(B) происходит по формулам:

,

.

Существует метод среднего максимума (mean of maxima - mom), для которого операция дефазификации выполняется, исходя из сечения множества при =hgt . При этом результат определяется по формуле

,

где - сечение множества при =hgt . На рис. 3.15 показано применение метода mom.

Рис. 3.15

Так как метод mom «теряет» часть информации нечеткого множества , то этот метод применяется только в тех случаях, когда операция дефазификации имеет фильтрующие свойства. В данных случаях метод называют индексным или методом пороговой дефазификации (idexed defuzzification - idfz). В сочетании с методом cog его обозначают - icog. Результат дефазификации формально определен в виде

.

В сочетании с методом coa метод пороговой дефазификации обозначают icoa. Результат дефазификации формально определен в виде

.

Существуют индексные методы с фильтрующими свойствами, в которых =_t, _t - заданные априори значения (как правило, _t=0,5), а результат дефазификации определен в виде

,

.

На рис. 3.16 показана дефазификации индексными методами с уровнем разреза _t.

Рис. 3.16

При разработке систем управления в виде нечетких контроллеров могут применяться различные методы дефазификации в зависимости от поставленной задачи.