Введение

Моделирование сложных систем требует знаний из области естественно гуманитарных дисциплин, в первую очередь знаний математики и физики. Методами системного анализа позволяют разработать модель. Исследование модели методами системного анализа позволяет получить рекомендации относительно поведения реального объекта. Моделиpование - творческий процесс, требующий определенного искусства, математических знаний, практических навыков и умения пpедвидеть pезультат иccледований.

При управлении сложными нелинейными объектами применяют два подхода. Первый подход состоит в том, что разрабатывают для объекта математическую модель, которая может иметь достаточно сложную форму, содержать большое число эмпирических коэффициентов, идентификация которых может задачей, имеющей очень сложное решение или не имеющей решение вообще. Примеров подобных объектов много – это ректификационные колонки при перерботке нефти, печи в металлургии, цементные печи, системы управления подачей топлива в двигатели внутреннего сгорания и т.д.

Разработанные с применением данного подхода системы управления не обеспечивают требуемого качества управления.

При другом подходе, применяя эвристические алгоритмы, используя показания контрольно-измерительных приборов, опыт и интуицию инженерно-технического персонала, разрабатывают системы управления в виде нечетких контроллеров, которые справляются с управлением сложными объектами достаточно уверенно. Впервые этот подход получил инженерное воплощение при управлении цементной печью.

Так как язык нечеткой логики близок по структуре к естественному языку, то это упрощает процедуры построения эвристических алгоритомов для решения задач управления сложными объектами. При применении нечеткой логики выделяют две практические области:

- разработка нечетких регуляторов, которые в прямом контуре управления выполняют функции линейного преобразователя, т.е. могут реализовывать линейные функции П-, ПИ-, ПИД- и других регуляторов;

- разработка комбинированных нечетких регуляторов, причем в прямом контуре управления имеются традиционные регуляторы, а в дополнительном контуре имеются нечеткие системы, позволяющие подстраивать коэффициенты усиления прямого контура к изменяющимся условиям функционирования объекта.

Оcновные задачи куpcа данного пособия cледующие:

- изучение cтудентом четких и нечетких множеств, пpименение сведений их котоpыx необходимо для формализации параметров пpи pешении задач моделиpования;

- изучение нечеткой логики для формализации естественного языка при описании работы специалистов;

- изучение моделей ситуационных систем, параметры которых формализованы методами теории нечетких множеств, а управления осуществляется путем принятия решений при формализации правил методами нечеткой логики;

- изучение моделей нечетких контроллеров.

1. Основные положения теории множеств

1.1. Множества

Под множеством понимается совокупность различаемых друг от друга объектов, которые возможно рассматривать по существующим признакам как единое целое. В множестве не должно быть одинаковых, неразличимых элементов. Множества бывают конечными, если они состоят из конечного числа элементов, и бесконечными в противном случае. Объекты множеств называют элементами множества.

Множества принято обозначать заглавными буквами латинского или русского алфавита, а элементы множеств - строчными буквами. Элементы множества могут быть обозначены одной и той же буквой, но с индексами.

Множества задаются двумя способами: перечислением и описанием элементов.

Если все элементы множества А задаются в виде списка, т.е. A={a1, a2, …,an}, то такой способ задания называется перечислением. Принадлежность элементов ai множеству А символически обозначается в виде что читается «a_i принадлежит А». Если некоторый объект aj не принадлежит множеству A, то это символически обозначается в виде

Элементы могут принадлежать множеству в силу некоторого общего их свойства. Если Р(х) – свойство элементов х, то множество А элементов х, обладающих свойством Р(х), задается способом описания. Символьное задание множества способом описания имеет вид А={хВ/Р(х)}, где В – произвольное множество. Например, если В – множество целых чисел, то множество А целых чисел в интервале (1,10) определится следующим образом: А={хВ/1<x<10}.

Число элементов, принадлежащих множеству, определяет мощность множества. Например, если А={а1, а2, а3, а4, а5, а6,}, то мощность множества А, обозначаемая А, будет равна шести.

Множество, не содержащее никаких элементов, называется пустым и имеет обозначение .

Если все элементы множества А можно пронумеровать в виде бесконечной последовательности а₁, а₂, …, а_n, …, причем каждый элемент имеет только один номер, то такое множество называется счетным.

Бесконечные множества, элементы которых невозможно пронумеровать, называют несчетными множествами. Примером может служить множество точек на отрезке [a,b].

Если множество не является своим собственным элементом, то такое множество называется ординарным. Например, множество всех натуральных чисел является ординарным.

Множества, содержащие сами себя в качестве элементов, называются экстраординарными. Например, множество всех абстрактных понятий является абстрактным понятием.

Два множества называются равными, если они содержат одни и те же элементы. Множество А не равно множеству В (АВ), если в множестве А имеются элементы, не принадлежащие множеству В, либо в множестве В имеются элементы, не принадлежащие множеству А.

Символ равенства множеств обладает свойствами:

а) рефлексивности (лат. reflexio – отражение) А=А;

б) симметричности: если А=В, то В=А;

в) транзитивности (лат. transitus – переход): если А=В и В=С, то А=С.