3.4. Алгебра нечетких выводов
3.4.1. База
нечетких правил.
В нечеткой логике существует понятие
нечеткого предложения (fuzzy
proposition).
Нечеткое предложение определяется в
виде высказывания «
».
Символ «x»
обозначает физическую величину (ток,
напряжение, давление, скорость и прочее),
символ «
»
обозначает лингвистическую переменную
(ЛП), а символ «p»
- аббревиатура proposition
– предложение. Например, в высказывании
«величина тока есть большая» физической
переменной x
является «величина тока», которая может
быть измерена датчиком тока. Нечеткое
множество
определено ЛП «большая» и формализовано
функцией принадлежности А(х).
Связке «есть» соответствует операция
упорядоченности в виде равенства,
которая обозначается символом «=».
Получает формализованный вид предложение
«
».
Нечеткое предложение может состоять из нескольких отдельных нечетких предложений, соединенных между собой связками «И», «ИЛИ». Выбор логических связок «И», «ИЛИ» от смысла и контекста предложений, от взаимосвязи между ними. Отметим, что операции нечеткого «И» и «ИЛИ» по Заде (формулы (3.6) и (3.15)) в теории управления предпочтительны по отношению к остальным, т.к. они не имеют избыточности. Когда нечеткие предложения не являются эквивалентными, но коррелированны и взаимосвязаны, то возможно применение Т-норм и S-норм по Лукашевичу (формулы (3.8) и (3.17)).
Предложение
p
может быть представлено как нечеткое
отношение Р
с функцией принадлежности:
.
Для составления нечеткого предложения,
состоящего из нескольких отдельных
нечетких предложений, соединенных между
собой связками «И», используют индикатор
«если». В результате получаем систему
условных нечетких высказываний:
.
Нечеткие предложения называют условиями или предпосылками.
Множество условий позволяет построить множество выводов или заключений. В этом случае применяют индикатор «тогда».
Продукционное нечеткое правило (fuzzy rule) – это совокупность условий и выводов:
R1:
если x1=
и x2=
и …, тогда y1=
и y2=
и …
Или
……………………………………………………………,
где символ R1 – аббревиатура «rule» - правило.
Например [11], правило при управлении температурой воды сформулировано в следующем виде: «R1: если температура воды есть холодная и температура воздуха есть холодная, тогда проверни вентиль горячей воды влево на большой угол и вентиль холодной воды вправо на большой угол».
Нечеткие условия для решения задачи:
-x1 - температура воды (измеряется датчиком); - холодная;
-x2 - температура воздуха (измеряется датчиком); - холодная;
- нечеткие условия вывода:
-
y1 - угол
поворота вентиля влево,
- большой;
-
y2 - угол
поворота вентиля вправо,
– большой.
Данному лингвистическому нечеткому правилу соответствует формализованная запись:
R1: если x1= и x2= , тогда y1= и y2= , (3.31)
где , , и – нечеткие множества, заданные функциями принадлежности.
Совокупность
нечетких продукционных правил образует
базу нечетких правил
,
где Ri:
если …, тогда …;
.
Для базы
нечетких правил справедливы следующие
свойства: непрерывность, непротиворечивость,
полнота.
Непрерывность определена понятиями: упорядоченная совокупность нечетких множеств; прилегающие нечеткие множества.
Совокупность нечетких множеств {Ai} называется упорядоченной, если для них задано отношение порядка: «<»:A1<…<Ai-1<Ai<Ai+1<… .
Если
совокупность нечетких множеств {
}
упорядочена,
то множества
и
,
и
называются прилегающими
при условии, что эти нечеткие множества
являются перекрывающимися.
База нечетких правил называется непрерывной, если для правил
Rk:
если x1=
и x2=
,
тогда y=
и k’k
выполнены условия:
‑ 
и
являются прилегающими;
‑ 
и
являются прилегающими;
‑
и
являются прилегающими.
Непротиворечивость базы нечетких правил рассмотрим на примере [11]. База нечетких правил для управления роботом задана в виде:
………………………………….
или