Пример 2(парная нелинейная регрессия)

Задача

По регионам страны изучается зависимость ВРП на душу населения (тыс.руб.) от инвестиций в основной капитал (тыс.руб.).

Регионы	Уi	Хi
1	36	9
2	23	3
3	28	4
4	26	4
5	18	2
6	32	6
7	31	6
8	30	5
9	42	7
10	41	8
Итого	307	54

Требуется:

1. Рассчитать параметры гиперболической и степенной функций, вычислить показатели корреляции и детерминации;

3. Определить лучшее уравнения, сравнив по нелинейным функциям показатели средней ошибки аппроксимации и индекса детерминации. Обосновать выбор лучшего уравнения.

4. Рассчитать средний коэффициент эластичности.

5. По выбранному уравнению построить точечный прогноз.

Решение

1. Гиперболическая регрессия: .

Заменим 1/x переменной z. Получим уравнение:

Для расчетов используем данные таблицы 1

Таблица 1- Расчет параметров регрессии и корреляции для уравнения равносторонней гиперболы.

Регионы	yi	хi	zi=1/xi	yizi	y2	z2
1	36	9	0,111	3,996	1296	0,0123	37,14	-1,14	1,3	0,032
2	23	3	0,333	7,659	529	0,1109	24,55	-1,55	2,4	0,067
3	28	4	0,250	7,000	784	0,0625	29,26	-1,26	1,59	0,045
4	26	4	0,250	6,500	676	0,0625	29,26	-3,26	10,63	0,125
5	18	2	0,500	9,000	324	0,2500	15,08	2,92	8,53	0,162
6	32	6	0,167	5,344	1024	0,0279	33,97	-1,97	3,88	0,062
7	31	6	0,167	5,177	961	0,0279	33,97	-2,97	8,82	0,096
8	30	5	0,200	6,000	900	0,0400	32,1	-2,1	4,41	0,07
9	42	7	0,143	6,006	1764	0,0204	35,33	6,67	44,49	0,159
10	41	8	0,125	5,125	1681	0,0156	36,35	4,65	21,62	0,113
Итого	307	54	2,246	61,807	9939	0,6300	307,01	х	107,67	0,931
Среднее	30,7	х	0,2246	6,1807	993,9	0,0630	х	х	х	х
σ2	51,4	х	0,0126
σ	7,2	х	0,1123

Рассчитаем параметры гиперболического уравнения регрессии:

=-56,708

43,437

Подставляя в полученное уравнение исходные значения x_i, получим теоретические (расчетные) значения .

2) Оценим тесноту связи с помощью индексов корреляции и детерминации

0,889 (связь тесная)

107,67 (из таблицы 1)

3) Оценим качество уравнения с помощью ошибки аппроксимации

=9,31%

Качество уравнения высокое.(А<10%)

4) Оценим статистическую надежность (значимость) результатов регрессионного моделирования:

=30,1

F_табл=5,32.

F_факт> F_табл – уравнение статистически значимо.

Обработка с помощью Excel дала следующие результаты:

2. Степенная функция:

Проведем линеаризацию переменных с помощью логарифмирования обеих частей уравнения:

Y=A+bX, где Y=lgy, A=lga, X=lgx

Расчет новых переменных проведем в таблице 2.

Регионы	yi	хi	Yi (lgyi)	Xi (lgxi)	YiXi
1	36	9	1,56	0,95	1,482	2,4336	0,9025	41,08	-5,08	25,81	0,141
2	23	3	1,36	0,48	0,6528	1,8496	0,2304	22,92	0,08	0,01	0,003
3	28	4	1,45	0,6	0,87	2,1025	0,36	26,71	1,29	1,66	0,046
4	26	4	1,41	0,6	0,846	1,9881	0,36	26,71	-0,71	0,5	0,027
5	18	2	1,26	0,3	0,378	1,5876	0,09	18,48	-0,48	0,23	0,027
6	32	6	1,51	0,78	1,1778	2,2801	0,6084	33,12	-1,12	1,25	0,035
7	31	6	1,49	0,78	1,1622	2,2201	0,6084	33,12	-2,12	4,49	0,068
8	30	5	1,48	0,7	1,036	2,1904	0,49	30,07	-0,07	0	0,002
9	42	7	1,62	0,85	1,377	2,6244	0,7225	35,95	6,05	36,6	0,144
10	41	8	1,61	0,9	1,449	2,5921	0,81	38,59	2,41	5,81	0,059
Итого	307	54	14,75	6,94	10,4308	21,8685	5,1822	306,8	0	76,36	0,552
Среднее	30,7	х	1,475	0,694	1,04308	2,18685	0,51822	х	х	х	х
σ2	х	х	0,011	0,037	х	х	х	х	х	х	х
σ	х	х	0,105	0,192	х	х	х	х	х	х	х

=0,531

1,107

Получаем линейное уравнение:

Далее выполняем его потенцирование:

Подставляя в полученное уравнение исходные значения x_i, получим теоретические (расчетные) значения . По ним рассчитаем индекс корреляции и ошибку аппроксимации.

2) Оценим тесноту связи с помощью индексов корреляции и детерминации

0,851 (связь тесная)

76,36 (из таблицы 2)

3) Оценим качество уравнения с помощью ошибки аппроксимации

=5,52%

Качество уравнения высокое.(А<10%)

4) Оценим статистическую надежность (значимость) результатов регрессионного моделирования:

=21,0

F_табл=5,32.

F_факт> F_табл – уравнение статистически значимо.

Наилучшую функцию для исходных данных выберем на основе сравнения показателей качества модели:

Функция	R2	F	A,%
Линейная	0,823	37,1	6,63
Равносторонняя гипербола	0,790	30,1	9,31
Степенная	0,724	21,0	5,52

Сравнивая показатели качества рассчитанных уравнений, выбираем линейную функцию.