Пример 1(парная линейная регрессия)

Пример парного регрессионного анализа По регионам страны изучается зависимость ВРП на душу населения (тыс.руб.) от инвестиций в

основной капитал (тыс.руб.).

Требуется:

1)Выбрать признак Х и признак У

2)Проверить исходные данные на однородность.

3)Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.

4)Рассчитать параметры парного уравнения регрессии.

5)Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

6)Оценить качество уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации.

7)Оценить статистическую надежность (практическую значимость) регрессионного моделирования.

8)Выполнить точечный и интервальный прогноз значения y, если х увеличится на 10% от его среднего уровня

Решение

1)Так как ВРП (валовой региональный продукт) зависит от предварительно сделанных инвестиций, то признаком результатом (У) будет являться ВРП на душу населения, а признаком – фактором (Х)- инвестиции в основной капитал.

2)Построим поле корреляции Для этого необходимо поместить наблюдения в систему координат. Совокупность полученных точек

составляет корреляционное облако. Если оно вытянуто из левого нижнего угла в правый верхний – связь прямая, если из правого верхнего в левый нижний – обратная. Если точки беспорядочно разбросаны по полю, это говорит о том, что связи между двумя признаками нет.

Корреляционное облако имеет вытянутую форму. Можно использовать линейную функцию.

3)Проверим исходные данные на однородность. Для этого рассчитаем коэффициент вариации для обеих переменных:

Для расчета коэффициента вариации нам потребуется среднее значение и СКО по каждой переменной:

Вариация в пределах нормы. Данные однородны.

4) рассчитать параметры парного уравнения регрессии

a y bx 30.7 3.1*5.4 14

yˆx 14+3,1х

Коэффициент регрессии показывает, что с ростом инвестиций в основной капитал на 1 тыс.руб, ВРП на душу населения возрастает в среднем на 3,1 тыс.руб.

5) Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации

ryx2 0,9072 0,823

82,3% вариации ВРП на душу населения обусловлено колеблемостью инвестиций в основной капитал.

6) Оценим качество уравнения с помощью ошибки аппроксимации

Качество уравнения высокое.(А<10%)

7) Оценим статистическую надежность (значимость) результатов регрессионного моделирования:

Проверим статистическую значимость уравнения в целом.

Сформулируем нулевую гипотезу. Н0: уравнение статистически не значимо. Для проверки гипотезы построим таблицу дисперсионного анализа.

( y y)2 y2 n y2 9939 10*30,72 9939 9424,9 514,1

( yˆ х y)2 b2 (х х)2 b2 n(х2 (х)2 ) =3,12*10*(33,6-5,42)=9,6*44=422,4

( y yˆx ) 514,1 422,4 91,7

Fфакт. 37.1 Fтабл. 5,32 , уравнение статистически значимо.

Проверим надежность отдельных параметров уравнения с помощью t-критерия Стъюдента.

ta a ; ma

tтабл=2,3 для df=n-m-1=10-1-1=8, α=0,05 (см. таблицы критических значений t-критерия Стъюдента)

ta>tтабл

Параметр а статистически значим

tтабл=2,3 для df=n-m-1=10-1-1=8, α=0,05. (см. таблицы критических значений t-критерия Стъюдента)

tb>tтабл

Параметр b статистически значим

8) Выполним точечный и интервальный прогноз y, если х увеличится на 10% от его среднего уровня.

Точечный прогноз получаем путем подстановки в уравнение прогнозного значения признака-фактора: yˆ p 14 3.1(5.4*1.1) 32.4

Интервальный прогноз получаем предварительно рассчитав ошибку прогноза

y p y p y p y p y p ,

где y p my p tтабл , а my p – средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения:

32.43.57 yˆ p 32.4 3.57

28.83yˆ p 35.97

Решение типовой задачи в MS Excel

1. C помощью инструмента анализа данных Регрессия можно получить результаты регрессионной статистики, дисперсионного анализа, доверительных интервалов, остатки и графики подбора линии регрессии.

2.Если в меню Данные еще нет команды Анализ данных, то необходимо сделать следующее. В главном меню последовательно выбираем ФАЙЛ Параметры -Надстройки и устанавливаем Пакет анализа.

3. Построим поле корреляции.

Скопировать данные своего варианта на лист Excel.

Выбрать Вставка Точечная диаграмма

Корреляционное облако имеет вытянутую форму. Можно использовать линейную функцию.

Для расчета показателей корреляции и регрессии выбираем Данные Анализ данных Регрессия

Заполняем диалоговое окно ввода данных и параметров вывода

Здесь:

Входной интервал Y - диапазон, содержащий данные результативного признака; Входной интервал X - диапазон, содержащий данные признакафактора;

Метки - «флажок», который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов; Константа - ноль - «флажок», указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист - можно указать произвольное имя нового листа (или не указывать, тогда результаты выводятся на вновь созданный лист).

Получаем следующие результаты для рассмотренного выше примера

6) Для расчета средней ошибки аппроксимации необходимо воспользоваться таблицей «Вывод остатков», где приведены «Предсказанное у» (это уˆ ) и остатки (это yi yˆi ). Рассчитав дополнительный столбец со значениями, можно определить среднюю ошибку аппроксимации.

Результат:

ВЫВОД ОСТАТКА

Качество уравнения высокое. (А<10%)