Применение преобразования Лапласа для вычисления передаточной функции.

Передаточная функция в данном случае определяется как отношение изображения по Лапласу выходной реакции системы к изображению по Лапласу входного воздействия .

. (75)

Примеры вычисления передаточной функции с использованием преобразования Лапласа.

1. Оператор системы задан дифференциальным уравнением -го порядка

. (76)

Преобразование Лапласа от обеих частей уравнения

(77)

Тогда передаточная функция имеет вид

. (78)

2. Передаточная функция силовой части привода. Входным воздействием является напряжение возбуждения , выходным – угол разворота выходного вала (угол наведения).

,

, (79)

.

Перепишем уравнения в операторной форме (приведение к алгебраической форме)

(80)

Из последних двух уравнений следует

, (81)

Подстановка в верхнее уравнение позволяет исключить промежуточные переменные и установить связь между входным и выходным воздействиями

(82)

Откуда получаем

. (83)

На основании передаточной функции легко получить дифференциальное уравнение третьего порядка, связывающее входное и выходное воздействия

. (84)

Частотная характеристика системы.

Определяется аналогично передаточной функции для частного случая чисто мнимых значения параметра .

Т.е. справедливы все предыдущие соотношения. В частности для стационарных систем

- с помощью реакции на показательное воздействие

(85)

- с помощью весовой функции системы

(86)

- с помощью преобразования Фурье (как частный случай преобразования Лапласа)

. (87)

Если имеется выражение для передаточной функции, то частотная характеристика получается простой заменой . Так частотная характеристика системы, представленной дифференциальным уравнением -го порядка

. (88)

- вещественная часть частотной характеристики,

- мнимая часть частотной характеристики,

- круговая частота (рад/сек).

Таким образом, частотная характеристика представляет комплексную функцию от частоты .

Представление частотной характеристики(как любого комплексного числа) в полярной системе имеет вид

,

. (89)

На комплексной плоскости годограф частотной характеристики представляется следующим образом, рис.8.

Рис.8.

Частотная характеристика системы имеет простой физический смысл.

Пусть на вход системы подан синусоидальный сигнал амплитуды и частоты .

. (90)

Реакция системы на это воздействие

, (91)

т.к реакция на показательное воздействие - .

(92)

Окончательно

, (93)

т.к.

(94)

Из вышесказанного видно, что амплитуда реакции на синусоидальное воздействие с амплитудой равна , т.е. модуль частотной характеристики показывает усиление амплитуды входного сигнала на данной частоте. Для физически реализуемых систем при , т.е. реальные системы обладают свойством фильтра.

Приведенные соотношения позволяют определять частотную характеристику (устойчивых) системы экспериментальным способом.

Полезным может оказаться вычисление реакции системы на косинусоидальный сигнал . (95)

Реакция системы на это воздействие

(96)

или

(97)

Таким образом, имеем две реакции на синусоидальный сигнал

(98)

и косинусоидальный

(99)

Если первый сигнал домножить на , а второй на и сложить, то получим

(100)

Соотношение (100) представляет способ определения при численном моделировании системы.

Если первый сигнал домножить на , а второй на и вычесть, то получим

(101)

Соотношение (101) представляет способ определения при численном моделировании системы.