Весовые функции линейных систем.
Реакция линейной системы на произвольное возмущение имеет вид
.
(39)
Обозначим
-
весовая функция системы – реакция на
импульс, поданный в момент
.
Для стационарных систем
.
Тогда
(40)
Условие физической возможности
(реализуемости)
.
Система не может реагировать на еще не поданное возмущение.
Для физически возможной системы справедливо
.
(41)
При
. (42)
Пример.
Уравнение вращательного движения вала
.
(43)
Подадим импульсное воздействие
.
(44)
Или
.
(45)
Линейное уравнение первого порядка
имеет интегрирующий множитель
.
Общий интеграл имеет вид
.
(46)
Переходная характеристика системы
.
Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие.
Рассмотрим предыдущий пример при единичной функции в правой части.
,
полагая
.
(47)
Решение
.
С учетом нулевых начальных условий
имеем
.
Окончательно
.
(48)
(Для апериодического звена
следует
).
Продифференцировав по времени, получим уже известное выражение для весовой функции
.
(49)
(Для апериодического звена
).
Реакция линейной системы на показательное входное воздействие. Передаточная функция. Частотная характеристика.
Рассмотрим некоторую функцию
.
Если она абсолютно интегрируема, то ее
можно представить интегралом Фурье
,
(50)
где
.
(51)
Реакция на входное воздействие
.
(52)
Здесь
-реакция
системы на показательное воздействие.
Рассмотрим более общий вид показательного
воздействия
,
где
-комплексное
число.
В дальнейшем введем понятие передаточной функции системы как отношение
.
(53)
Для стационарной системы передаточная функция не зависит от времени
.
(54)
Реакция системы на показательное воздействие определяется через передаточную функцию
.
(55)
Рассмотренное определение ПФ с помощью показательного возмущения является наиболее общим (для стационарных и нестационарных систем).
Пример.
Определим передаточную функцию для объекта заданного дифференциальным уравнением
.
(56)
При экспоненциальном входном сигнале
(
)
это уравнение можно записать
,
или
и
(57)
Существуют и другие способы определения передаточной функции.
Определение передаточной функции с помощью весовой.
Для стационарной системы обозначим
.
(58)
Установившаяся реакция системы на возмущение
.
(59)
После замены переменных
,
имеем
.
(60)
При показательном воздействии
(61)
Применение преобразования Лапласа.
Одностороннее преобразование Лапласа (изображение) для функции (оригинал) имеет вид
- прямое (вычисление изображений)
,
(62)
-обратное (вычисление оригиналов)
.
(63)
Примеры вычисления изображений.
1.
│
=
.
(64)
2.
,
(65)
.
(66)
3.
,
(67)
Вычисляя аналогично, получим
.
(68)
4. Правило временного сдвига.
.
(69)
Обозначим
,
тогда можно записать
.
(70)
5. Преобразование Лапласа для производной от функции
(71)
Так как производная по определению
то
.
(72)
6. Преобразование Лапласа для интеграла
от функции
(73)
Продифференцируем исходное выражение
И возьмем интеграл Лапласа от обеих частей
Тогда
.
(74)