Лабораторная работа № 4.8

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель и содержание работы

изучение затухающих электромагнитных колебаний, определение коэффициента затухания колебаний, логарифмического декремента затухания и добротности колебательного контура.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ

Рассмотрим колебательный контур (рис. 4.8.1), состоящий из заряженного конденсатора С, катушки индуктивности L и активного сопротивления R.

При разрядке заряженного до разности потенциалов u₀ конденсатора возрастающий ток разряда I создает увеличивающееся магнитное поле в катушке индуктивности, вызывая появление э.д.с. самоиндукции

Е_i = – L

и падение напряжения на сопротивлении

u_R = I R ,

которое противоположно по знаку падению напряжения на конденсаторе.

При полной разрядке конденсатора ток не прекращается мгновенно, так как в катушке возникает э.д.с. самоиндукции, которое некоторое время поддерживает прежнее направление тока - конденсатор перезаряжается. Когда ток прекратится и конденсатор перезарядится, процесс пойдет в противоположном направлении.

Процессы, происходящие в колебательном контуре можно описать вторым правилом Кирхгофа, согласно которому алгебраическая сумма падений напряжений на участках замкнутого контура равна алгебраической сумме э.д.с. входящих в этот контур, т.е.

u_R – u = Е_i,

или I R = u – L , (4.8.1)

где I – мгновенное значение силы тока в цепи,

u – мгновенное значение разности потенциалов между обкладками конденсатора.

Если положительный заряд обкладки конденсатора q , то

I = – , (4.8.2)

знак “минус” означает, что положительному направлению тока соответствует убывание положительного заряда обкладки конденсатора.

Разность потенциалов между обкладками конденсатора

u = . (4.8.3)

Подставив выражения (4.8.2), (4.8.3) в уравнение (4.8.1) , получим

+ + q = 0 (4.8.4)

или + 2 + ₀²q = 0,

где  = – коэффициент затухания;

₀ = – частота собственных колебаний контура (частота колебаний контура при R = 0).

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка является уравнением затухающих колебаний, решением этого уравнения является выражение

q = q₀ e^{ t} sin( t +₀), (4.8.5)

где q₀ – начальный заряд конденсатора;

₀ – начальная фаза колебаний;

 = – частота затухающих колебаний;

Очевидно, что частота  затухающих колебаний не совпадает с частотой собственных колебаний контура ₀, т.е. ₀ >  .

Из выражения (5) с учетом (2), (3), получим уравнения изменения падения напряжения на обкладках конденсатора и тока в цепи

u = u₀ e^{– t} sin(t +₀), (4.8.6)

I = I₀ e^{– t} [ sin(t +₀) +  cos(t +₀)]. (4.8.7)

где u₀ – максимальное значение напряжения на конденсаторе

I₀ – максимальное значение тока в цепи.

Амплитуды колебаний заряда q_А, падения напряжения u_А, силы тока I_А изменяются по законам

q_А = q₀ e^{ t}, u_А = u₀ e^{ t}, I_А = I₀ e^{ t}.

Затухающие колебания не являются периодическим процессом в строгом смысле этого слова, но этот процесс обладает все же определенной повторяемостью в том смысле, что максимальные и минимальные значения заряда, тока и напряжения достигаются через равные промежутки времени. То же относится и к нулевым значениям заряда, тока и напряжения. Этот промежуток времени Т - период затухающих колебаний.

Период Т затухающих колебаний в колебательном контуре

T = = .

Период и амплитуда колебаний в колебательном контуре существенно зависят от параметров: емкости С, индуктивности L и сопротивления R.

Если колебательный контур не содержит активного сопротивления (R = 0), то  = 0, и энергия электромагнитного поля не будет переходить в тепловую и колебания в колебательном контуре будут слабо затухающими (рис. 4.8.2). (Энергия электромагнит-ного поля излучается в окружающее пространство).

Если активное сопротивление R цепи мало настолько, что

> , т.е. ₀ >  ,

то колебания в контуре будут иметь вид, показанный на рис. 4.8.3.

Если активное сопротивление R цепи велико настолько, что

 , т.е. ₀   ,

то колебаний не будет, разряд является апериодическим (рис. 4.8.4).

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим R_кр.

Из =

следует R _кр = .

Величинами, характеризующими затухание, являются коэффициент затухания , логарифмический декремент затухания  и добротность Q контура.

Коэффициент затухания  определяет убыль амплитуды А колебаний за единицу времени, т.е. эта величина, обратная промежутку времени, в течение которого амплитуда А колебаний уменьшается в е раз:

 = ln . (4.8.8)

Логарифмический декремент затухания  равен натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, разделенных во времени периодом колебаний

 = ln . (4.8.9)

Логарифмический декремент затухания  и коэффициент затухания  связаны соотношением

 = Т. (4.8.10)

Добротность контура Q связана с логарифмическим декрементом затухания  соотношением

Q = . (4.8.11)

Добротность контура есть умноженное на число  число полных колебаний, по истечению которых амплитуда уменьшается в е раз. Добротность контура характеризует резонансные свойства контура.

УКАЗАНИЯ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ

При выполнении лабораторных работ необходимо выполнять основные правила внутреннего распорядка и техники безопасности при работе в лабораториях [5].

К работе на приборах допускаются студенты только после изучения настоящих методических указаний и получения допуска у преподавателя.

Аппаратура, оборудование и материалы

Д ля изучения затухающих электромагнитных колебаний, определения коэффициента затухания электромагнитных колебаний, логарифмического декремента затухания и добротности колебательного контура используется установка, состоящая из колебательного контура, генератора электромагнитных колебаний. Функциональная схема и передняя панель экспериментальной установки, приведены на рис. 4.8.5 и рис. 4.8.6.

Методика и порядок выполнения работы

Подключив установку тумблером 5 и осциллограф к сети, дать им прогреться в течение 5 - 10 минут.

Подсоединить вход осциллографа к выходу 4 колебательного контура получить устойчивую картину затухающих электромагнитных колебаний. Увеличивая переключателем 1 емкость контура от 10 мкФ с шагом 1 мкФ и переключателями 2 и 3 сопротивление контура с шагом у переключателя 2 – 0,1 Ом, у переключателя 3 – 1 Ом установить указанные преподавателем параметры колебательного контура. Получить и зарисовать картину затухающих электромагнитных колебаний.

По полученным экспериментальным данным рассчитать коэффициент затухания электромагнитных колебаний, логарифмический декремент затухания и добротность колебательного контура по формулам (4.8.8) – (4.8.11).

В выводах оцените, как влияют изменение R и C на период колебаний и коэффициент затухания.

Содержание отчета и его форма

Отчет по лабораторной работе оформляется в соответствии c формой, приведенной в приложении 1.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Какими параметрами характеризуется колебательный процесс?

Какие параметры характеризуют процесс затухания колебаний?

Получите дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний для колебательного контура.

Каков закон изменения амплитуды заряда, падения напряжения и тока при затухающих электромагнитных колебаниях?

Как из параметров колебательного контура определить коэффициент затухания электромагнитных колебаний, логарифмический декремент затухания и добротность колебательного контура?

Список рекомендуемой литературы

[1] – [5]