Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук

I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Відділення “Фізика і астрономія”

11 Клас

1. Нехай і . Чи правда, що ?

2. Яке число більше: чи ?

3. Розв’язати нерівність .

4. Довести, що для довільної трикутної піраміди існує єдина точка , для якої

.

5. Розв’язати рівняння

6. Три різних натуральних числа утворюють зростаючу геометричну прогресію. Знайти ці

числа, якщо їхня сума дорівнює 57.

7. Довести, що єдиним дійсним розв’язком рівняння є число

.

8. Який найбільший об’єм може мати прямокутний паралелепіпед, повна площа поверхні

якого дорівнює ?

9. Знайти всі пари простих чисел , для яких

.

Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,

які її зробили правильно.

Голова предметної комісії з математики Плахотник В.В.

Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук

I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Секція “Економічна теорія”

11 Клас

1. Спочатку нафта подорожчала на 10 , а потім подешевшала на 15 . На скільки відсотків

9. подешевшала нафта після двох змін цін ?

2. Виконати дії , записавши результат у вигляді звичайного дробу.

3. Розв’язати нерівність .

4. Довести, що нерівність справджується при довільних

значення числа . Чи можлива тут рівність ?

5. Розв’язати рівняння .

6. Одна фірма може виконати роботу за 10 днів, інша фірма – за 12 днів. Якщо фірми

виконують роботу одночасно, перша фірма зменшує свою продуктивність на 5 , а друга

– на 10 .Чи можуть вони виконати роботу, працюючи одночасно, за 6 днів ?

7. Відомо, що п’ять ребер трикутної піраміди дорівнюють 4 см. Якого найбільшого значення

може набувати її об’єм ?

8. Відомо, що ціле додатнє число, а дріб можна скоротити. На яке число цей

дріб можна скоротити ? Який дріб вийде після скорочення ?

9. На сторонах рівнобедреного прямокутного трикутника взяли по точці на кожній стороні

і з’єднали їх відрізками. Виявилось, що всі чотири утворені трикутники є рівнобедреними.

Знайти внутрішні кути усіх чотирьох трикутників.

Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,

які її зробили правильно.

Голова предметної комісії з математики Плахотник В.В.

Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук

I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Секція “Мікроекономіка та макроекономіка”

11 Клас

1. Знайти найменше значення функції , якщо .

2. Знайти найменше і найбільше значення величини , якщо .

3. Зобразити на площині точки, для координат яких справджуються усі три

нерівності та .

4. Сторони i опуклого чотирикутника рівні між собою. Довести, що прямі

i утворюють рівні кути з прямою, що з’єднує середини i .

5. Розв’язати рівняння .

6. Розв’язати нерівність .

7. Яке максимальне значення об’єму трикутної піраміди, у якій п’ять ребер дорівнюють по

4см ?

8. Відомо, що , де ціле число, . Знайти всі значення , для яких

9. Нехай – точка перетину медіан трикутника . Довести, що число

не залежить від положення точки у просторі.

Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,

які її зробили правильно.