Голова предметної комісії з математики Плахотник в.В. Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук

I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт

Секція “Математика”

11 клас

1. Скільки всього шестицифрових чисел, кожне з яких має цифру 1 ?

2. Яке з чисел більше: чи ?

3. Довести, що у довільному трикутнику основа медіани рівновіддалена від основ висот,

проведених з двох інших вершин.

4. Кожен із трьох ненульових векторів перпендикулярний до суми двох інших. Довести,

що кожні два вектори – перпендикулярні.

5. Знайти всі квадратні тричлени , для яких справджуються нерівності:

6. Розв’язати рівняння .

7. Яких значень може набувати вираз

?

8. Знайти всі пари простих чисел , для яких

.

9. В трикутнику одна із медіан ділить одну із висот у відношенні , рахуючи від

вершини. Довести, що трикутник рівнобічний.

Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,

які її зробили правильно.

Голова предметної комісії з математики Плахотник В.В.

Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук

I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Секція “Прикладна математика”

11 Клас

1. Скільки всього шестицифрових чисел, кожне з яких має цифру 0 ?

2. Синус якого кута більший: 3 радіан чи 19 радіан ?

3. Розв’язати нерівність .

4. При якому значенні параметра найбільше значення виразу

дорівнюватиме 8 ?

5. Довжини сторін трикутника утворюють геометричну прогресію.Довести, що даний

трикутник і трикутник, утворений з його висот, подібні.

6. Довести, що для довільного натурального числа і довільного дійсного числа

справджується нерівність .

7. Знайти усі такі значення параметра , щоб рівняння мало три

різних цілих розв’язки.

8. Знайти усі трійки дійсних чисел , щоб .

9. Нехай – довільні точки, лежать на

відповідно,

. Довести, що  і знайти .

Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,

які її зробили правильно.

Голова предметної комісії з математики Плахотник В.В.

Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук

I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Секція “Математичне моделювання”

11 Клас

1. Яке з чисел більше: чи ?

2. Скільки коренів має рівняння у залежності від значення

параметра ?

3. Довести, що для довільного цілого існує таке ціле , що число

без остачі ділиться на 7.

4. Кожна з п’яти труб незалежно наповнює басейн водою. Перша, друга і третя труби,

працюючи разом, наповнять басейн за 6 годин; перша, третя, четверта і п’ята – за 3 години;

друга, четверта і п’ята – за 4 години. За скільки годин наповнять басейн усі п’ять труб,

працюючи одночасно ?

5. Довжини сторін трикутника утворюють геометричну прогресію.Довести, що даний

трикутник і трикутник, утворений з його висот, подібні.

6. Розв’язати нерівність .

7. Довести, що для довільної трикутної піраміди існує єдина точка , для якої

.

8. Нехай – правильна чотирикутна піраміда з вершиною S, у якій ,

N – середина ребра SD. Знайти кут між площинами SBC та NAB.

9. Розв’язати рівняння .

Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,

які її зробили правильно.

Голова предметної комісії з математики Плахотник В.В.