9. Довести: якщо – дійсне число, а числа , та – раціональні, то

число також раціональне.

Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,

які її зробили правильно.

Голова предметної комісії з математики Плахотник В.В.

Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук

I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Секція “Мікроекономіка та макроекономіка”

10 Клас

1. Зобразити на площині точки, для координат яких справджуються усі три

нерівності та .

2. Скільки всього шестицифрових чисел ?

3. При яких значеннях параметра квадратне рівняння має два цілих

додатніх корені ?

4. Нехай точка перетину бісектрис ділить одну із них у відношенні , рахуючи від

вершини, іншу – у відношенні , рахуючи від вершини. Довести, що трикутник є

прямокутним.

5. Нехай – сторони трикутника. Довести, що .

6. Знайти усі пари натуральних чисел , для яких .

7. Нехай для внутрішніх кутів трикутника справджується рівність

.

Довести, що один із кутів трикутника дорівнює або .

8. Для того, щоб чотирикутник був паралелограмом, необхідно і достатньо,

щоб сума довжин відрізків, які сполучають середини його протилежних сторін,

дорівнювала половині периметра цього чотирикутника. Довести це.

9. Кожна з п’яти труб незалежно наповнює басейн водою. Перша, друга і третя труби,

працюючи разом, наповнять басейн за 6 годин; перша, третя, четверта і п’ята – за 3 години;

друга, четверта і п’ята – за 4 години. За скільки годин наповнять басейн усі п’ять труб,

працюючи одночасно ?

Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,

які її зробили правильно.

Голова предметної комісії з математики Плахотник в.В.

Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук

I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Секція “ Маркетінг та менеджмент”

10 Клас

1. Нехай і . Чи правда, що ?

2. Скільки коренів має рівняння у залежності від значення

параметра ?

3. Розв’язати рівняння

4. Нехай точка перетину бісектрис ділить одну із них у відношенні , рахуючи від

вершини, іншу – у відношенні , рахуючи від вершини. У якому відношенні точка

перетину ділить третю бісектрису ?

5. Три натуральних числа утворюють геометричну прогресію. Знайти ці числа, якщо їхня

сума дорівнює 38.

6. Нехай – основа правильної чотирикутної піраміди . Відомо, що

. Знайти косинус кута між площинами граней .

7. Спочатку стартову ціну товару зменшили на 10 % і по такій ціні було продано 40 %

всього товару. Потім наявну ціну збільшили на 18 % і по такій ціні продали решту товару.

Чи варто було змінювати ціни ? Можливо, краще було продати увесь товар за стартовою

ціною ?

8. Довести, що . При яких значеннях і

справджуватиметься рівність ?

9. Зобразити в прямокутній системі координат множину точок ,

координати яких задовольняють умову .

Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,

які її зробили правильно.