9. Відомо, що ціле додатнє число, а дріб можна скоротити. На яке число цей

дріб можна скоротити ? Який дріб вийде після скорочення ?

Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,

які її зробили правильно.

Голова предметної комісії з математики Плахотник В.В.

Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук

I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Секція “Математичне моделювання”

10 Клас

1. Яке число більше: чи ?

2. Знайти площу трикутника зі сторонами і .

3. Скільки осей симетрії має квадрат ?

4. Кожна з п’яти труб незалежно наповнює басейн водою. Перша, друга і третя труби,

працюючи разом, наповнять басейн за 6 годин; перша, третя, четверта і п’ята – за 3 години;

друга, четверта і п’ята – за 4 години. За скільки годин наповнять басейн усі п’ять труб,

працюючи одночасно ?

5. Зобразити в прямокутній системі координат множину точок ,

координати яких задовольняють умову .

6. Яким має бути число , щоб для довільних справджувалась тотожність

?

7. Знайти усі пари цілих додатніх чисел , для яких .

8. Одна із медіан трикутника ділить бісектрису одного із його нутрішніх кутів у відношенні

, рахуючи від вершини. Довести, що трикутник рівнобедренний.

9. Нехай – довільні точки, лежать на

відповідно,

. Довести, що  і знайти .

Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,

які її зробили правильно.

Голова предметної комісії з математики Плахотник В.В.

Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук

I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Секція “Астрономія та астрофізика”

10 Клас

1. Нехай і . Чи правда, що ?

2. Знайти площу трикутника зі сторонами і .

3. Чи можуть три різних числа бути послідовними членами арифметичної прогресії і,

одночасно, першим, четвертим і сьомим членами геометричної прогресії?

4. Пасажир метро спускається вниз по рухомому ескалатору за 24 секунди, а по нерухомому – за 42 секунди. За скільки секунд пасажир спуститься вниз, стоячи на рухомому ескалаторі?

5. Розв’язати рівнння

6. Розв’язати нерівність .

7. Нехай – довільна трикутна піраміда. Чи існує така точка , що

?

8. Знайти усі пари цілих додатніх чисел , для яких .

9. Нехай точка перетину бісектрис ділить одну із них у відношенні , рахуючи від

вершини, іншу – у відношенні , рахуючи від вершини. Довести, що трикутник є

прямокутним.

Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,

які її зробили правильно.

Голова предметної комісії з математики Плахотник В.В.

Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук

I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Секція “ Економічна теорія ”

10 Клас

1. Довести, що з бісектрис внутрішніх кутів трикутника не завжди можна утворити

трикутник.

2. Знайти всі цілі числа, для яких .

3. Навести приклад двох парабол, що мають чотири точки перетину.

4. Розв’язати рівняння .

5. Одна фірма може виконати роботу за 10 днів, інша фірма – за 12 днів. Якщо фірми

виконують роботу одночасно, перша фірма зменшує свою продуктивність на 5 , а друга –

на 10 . Чи можуть вони виконати роботу, працюючи одночасно, за 6 днів ?

6. Довести, що для кожного ребра правильної семикутної піраміди знайдеться інше її

ребро, перпендикулярне до вибраного.

7. Знайти найменше і найбільше значення величини

, якщо .

8. Знайти множину значень функції .