Міністерство освіти і науки України
Мала академія наук
I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Секція “Математика”
9 клас
1.
При яких
значеннях
параметра
рівняння
має єдиний корінь?
2. Чи можна квадрат зі стороною 10 см повністю накрити кругом радіуса 7см?
3.
Пішоход пройшов першу половину шляху
зі швидкістю
.
З якою швидкістю він
повинен рухатись другу половину шляху, щоб його середня швидкість на всьому шляху
дорівнювала
?
4.
Вершинами трикутника є основи висот
деякого гострокутного трикутника
.
Виявилось, що такий трикутник подібний до трикутника . Довести, що трикутник
правильний.
5. Скількома способами можна провести пряму, яка поділяє навпіл як площу,
так і периметр трикутника зі сторонами 8 см, 10 см і 12 см
6. На сторонах рівнобедреного прямокутного трикутника взяли по точці на кожній стороні і
з’єднали їх відрізками. Виявилось, що всі чотири утворені трикутники є рівнобедреними.
Знайти кути кожного утвореного так трикутника.
7.
Знайти всі квадратні тричлени
,
для яких справджуються нерівності:
8.
Знайти всі пари простих чисел
,
для яких
.
9.
Відомо,
що
ціле
додатнє число, а дріб
можна скоротити. На яке число цей
дріб можна скоротити ? Який дріб вийде після скорочення ?
Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,
які її зробили правильно.
Голова предметної комісії з математики Плахотник В.В.
Міністерство освіти і науки України
Мала академія наук
I I I етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт Секція “Математичне моделювання ”
9 клас
1. Нехай в чотирикутнику є три попарно рівних сторони і три попарно рівних внутрішні кути. Довести, що чотирикутник є квадратом.
2.
Довести,
що
3. Скільки всього існує шестицифрових чисел, які діляться на три без остачі ?
4. Кожна з трьох труб незалежно наповнює басейн водою. Якщо працюватимуть перша і
друга труби, басейн наповниться за дві години, якщо перша і третя, то за три години, а якщо друга і третя, то за чотири години. За який час басейн буде заповнений, якщо працюватиме тільки третя труба ?
5.
Довести: якщо
–
дійсне число, а числа
,
та
–
раціональні, то
число також раціональне.
6.
Знайти
всі натуральні числа
,
при яких число
буде
простим.
7.
Нехай
і квадратне рівняння
має
розв’язки.Чи можна
стверджувати,
що принаймні один із них належить
проміжку
?
8. Одна із медіан трикутника ділить бісектрису одного із його нутрішніх кутів у відношенні
,
рахуючи від вершини. Довести, що трикутник
рівнобедренний.
9.
Перший бігун
пробігає коло стадіона на
секунд
швидше, ніж це робить другий.
Спортсмени стартували одночасно з однієї точки і побігли в одному напрямку кожен зі
своєю
постійною швидкістю. Через
секунд після старту перший спортсмен
випередив другого рівно на одне коло стадіона. Знайти відношення швидкості руху
першого до швидкості другого спортсмена. У якій точці стадіона відбудеться перша
зустріч ?
Журі може частково змінити оцінку кожної задачі у залежності від кількості учасників конкурсу,
які її зробили правильно.
Голова предметної комісії з математики Плахотник В.В.