3.Методичні вказівки по виконанню

лабораторних робіт

Одна з найбільш розповсюджених задач статистичного дослідження складається у вивченні зв'язку між деякими спостерігаємими змінними. Знання взаїмозалежностей окремих ознак дає можливість вирішувати одну з кардинальних задач будь-якого наукового дослідження: можливість передбачати, прогнозувати розвиток ситуації при зміні конкретних характеристик об'єкта дослідження.

Звичайно взаємозв'язок між вибірками носить не функціональний, а імовірносний (чи стохастичний) характер. У цьому випадку немає строгої, однозначної залежності між величинами.

При вивченні стохастичних залежностей розрізняють кореляцію і регресію. Досліджувані дані варто представити у виді таблиці, де стовпцями є відповідні показники. Кореляційний аналіз складається у визначенні ступеня зв'язку між двома випадковими величинами X і Y. Як міра такого зв'язку використовується коефіцієнт кореляції. Коефіцієнт кореляції оцінюється по вибірці обсягу n зв'язаних пар спостережень (x_i, y_i) зі спільної генеральної сукупності Х и У.

Коефіцієнт кореляції (R, г) — параметр, що характеризує ступінь взаємозв'язку між двома вибірками, Коефіцієнт кореляції змінюється від -1 (стругаючи зворотна лінійна залежність) до 1 (стругаючи пряма пропорційна залежності). При значенні 0 лінійної залежності між двома вибірками немає. Вибірковий коефіцієнт лінійної кореляції між двома випадковими величинами Х и У розраховується по формулі:

де -математичне чекання величин x і y відповідно, середньоквадратичні відхилення.

, де - дисперсія вибірки , що обчислюється як

Значення коефіцієнта Мк узяти з таблиці:

n-1	1	2	3	5	6	7	8	9	10	60
Mk	1.253	1.128	1.085	1.051	1.042	1.036	1.032	1.028	1.025	1.004

Значимість отриманого коефіцієнта кореляції можна визначити перевіривши

- табличне значення критерію Стьюдента :

n-2	1	2	3	5	6	8	10	20	30	60
	12.706	4.303	3.182	2.571	2.447	2.306	2.228	2.086	2.042	2

При великому числі спостережень, коли коефіцієнти кореляції необхідно послідовно обчислювати з декількох рядів числових даних, для зручності одержувані коефіцієнти зводять у таблиці, називані кореляційними матрицями.

Кореляційна матриця — це квадратна (чи прямокутна) таблиця, у якій на перетинанні відповідних рядку і стовпця знаходиться коефіцієнт кореляції між відповідними параметрами.

У MS Excel для обчислення кореляційних матриць використовується процедура Кореляція. Процедура дозволяє одержати кореляційну матрицю, що містить коефіцієнти кореляції між різними параметрами.

Для реалізації процедури необхідно:

• виконати команду Сервіс Аналіз даних;

• у списку, що з'явився, Інструменти аналізу вибрати рядок Кореляція і натиснути кнопку ОК;

• у діалоговому вікні, що з'явилося, указати Вхідний інтервал, тобто ввести посилання па осередку, що містять аналізовані дані. Вхідний інтервал повинний містити не менш двох стовпців.

• у розділі Угруповання перемикач установити відповідно до введених даних;

• указати вихідний діапазон, тобто ввести посилання на осередки, у которые будуть виведені результати аналізу. натиснути кнопку ОК. Осередки вихідного діапазону, що мають співпадаючі координати рядків і стовпців, містять значення 1, тому що кожен стовпець у вхідному діапазоні цілком корелює із самим собою.

Поряд з кореляційним аналізом ще одним інструментом вивчення стохастичних залежностей є регресійний аналіз. Регресія використовується для аналізу впливу на окрему залежну змінну значень однієї чи більш незалежних змінних. Регресійний аналіз установлює форми залежності між випадковою величиною В (залежною) і значеннями однієї чи декількох змінних величин (незалежних), при цьому значення останніх вважаються точно заданими. Така залежність звичайно визначається деякою математичною моделлю (рівнянням регресії), що містить кілька невідомих параметрів. У ході регресійного аналізу на підставі вибіркових даних знаходять оцінки цих параметрів, визначаються статистичні помилки або оцінок границі довірчих інтервалів і перевіряється відповідність (адекватність) прийнятої математичної моделі експериментальним даним.

У лінійному регресійному аналізі зв'язок між випадковими величинами передбачається лінійної. У найпростішому випадку в лінійній регресійній моделі маються дві перемінні Х и У. І потрібно по n парах спостережень (Х₁, У₁), (Х₂, У₂), (Х_n, У_n), побудувати (підібрати) пряму лінію, називану лінією регресії, що «щонайкраще» наближає значення, що спостерігаються. Рівняння цієї лінії В=a+bх є регресійним рівнянням. За допомогою регресійного рівняння можна передбачити очікуване значення залежної величини В₀, що відповідає заданому значенню незалежної змінної Х₀. Таким чином, можна сказати, що лінійний регресійний аналіз полягає в підборі графіка і його рівняння для набору спостережень. Для перебування коефіцієнтів а й у необхідно вирішити наступну систему нормальних рівнянь

Якщо передбачається параболічна залежність між величинами виду y=a+bx+cx² , то для знаходження коефіцієнтів а , в и с потрібно вирішити систему нормальних рівнянь виду

Для встановлення адекватності побудованої моделі потрібно порівняти розрахункове значення критерію Фішера і табличне. Критерій Фішера обчислюється як відношення залишкової дисперсії (чи дисперсії адекватності ) до середньозваженої дисперсії , що знаходяться по наступних формулах :

дисперсія адекватності

середньозважена дисперсія з довірчою імовірністю 0,955 може вважатися рівною ,

де - експериментальне значення вихідної величини і значення , розраховане по рівнянню регресії відповідно, n -число спостережень , f=n-l -число ступенів волі , l - число коефіцієнтів у рівнянні регресії.

Якщо розрахункове значення критерію Фішера виявиться менше табличного , то отримане рівняння регресії адекватно вихідним даним.

Значення критерію Фішера

f	1	2	3	4	5	6	8	10	20	40	100
Fα	254.0	19.50	8.53	5.63	4.36	3.67	2.93	2.54	1.84	1.51	1.28	1.00

У випадку, коли розглядається залежність між однією залежної змінною У и декількома незалежними Х₁, Х₂, ... , Х_n, говорять про множинну лінійну регресію. У цьому випадку регресійне рівняння має вид:

,

де - потребуючі визначення коефіцієнти при незалежних змінних, - константа.

Мірою ефективності регресійної моделі є коефіцієнт детермінації R² (R-квадрат). Коефіцієнт детермінації (R - квадрат) визначає, з яким ступенем точності отримане регресійне рівняння описує (апроксимує) вихідні дані.

Досліджується також значимість регресійної моделі за допомогою F-критерію (Фішера). Якщо величина F-критерію значима (р < 0,05), то регресійна модель є значимої.

Вірогідність відмінності коефіцієнтів від нуля перевіряється за допомогою критерію Стьюдента. У випадках, коли р > 0,05, коефіцієнт може вважатися нульовим, а це означає, що вплив відповідної незалежної перемінної на залежну змінну не є достовірним, і ця незалежна перемінна може бути виключена з рівняння. У MS Excel експериментальні дані апроксимуються лінійним рівнянням до 16 порядку.

Для одержання коефіцієнтів регресії використовується процедура Регресія з пакета аналізу. Крім того, можуть бути використані функція ЛИНЕЙН для одержання параметрів регресійного рівняння і функція ТЕНДЕНЦІЯ для одержання передбаченних значень У в необхідних крапках.

Для реалізації процедури Регресія необхідно:

• виконати команду Сервіс Аналіз даних;

• у діалоговому вікні Аналіз даних у списку Інструменти аналізу вибрати рядок Регресія;

• у діалоговому вікні, що з'явилося, задати Вхідний інтервал У, тобто ввести посилання на діапазон аналізованих залежних даних, що містить один стовпець даних;

• указати Вхідний інтервал Х, тобто ввести посилання на діапазон незалежних даних, що містить до 16 стовпців аналізованих даних;

• указати вихідний діапазон, тобто ввести посилання на осередки, у які будуть виведені результати аналізу. Вихідний діапазон буде містити в собі результати дисперсійного аналізу, коефіцієнти регресії, стандартну похибку обчислення В, середньоквадратичні відхилення, число спостережень, стандартні погрішності для коефіцієнтів;

• якщо необхідно візуально перевірити відмінність експериментальних крапок від передбаченних по регресійній моделі, варто установити прапорець у поле Графік підбора;

• натиснути кнопку ОК.

Інтерпретація результатів - значення коефіцієнтів регресії знаходяться в стовпці Коефіцієнти і відповідають : У-перетинання а₀; перемінна X₁– а₁ ; перемінна Х₂ – а₂ і т.д.

У стовпці Р-Значення приводиться вірогідність відмінності відповідних коефіцієнтів від нуля. У випадках, коли Р > 0,05, коефіцієнт може вважатися нульовим, що означає, що відповідна незалежна перемінна практично не впливає на залежну змінну.

Значення R-квадрат (коефіцієнт детермінації) визначає, з яким ступенем точності отримане регресійне рівняння апроксимує вихідні дані. Якщо R-квадрат > 0,95, говорять про високу точність апроксимації (модель добре описує явище). Якщо R-квадрат лежить у діапазоні від 0,8 до 0,95, говорять про задовільну апроксимацію (модель у цілимо адекватна описуваному явищу). Якщо R-квадрат < 0,6, прийнято вважати, що точність апроксимації недостатня і модель вимагає поліпшення .

У пакеті Ехсеl крім майстра функцій мається набір більш могутніх інструментів для роботи з декількома вибірками і заглибленим аналізом даних, називаний Пакет аналізу, що може бути використаний для рішення задач статистичної обробки вибіркових даних.

Для установки розділу Аналіз даних у пакеті Ехсеl зробіть наступне: у меню Сервіс виберіть команду Надбудови й у списку, що з'явився, установите прапорець Пакет аналізу.

Якщо при установці Excel ви вибрали повний варіант завантаження, то при кожнім запуску програми ви завжди зможете скористатися функціями й інструментами пакета аналізу. Щоб використовувати ці інструменти, виберіть у меню Сервіс команду Аналіз даних (Data Analysis).

Інструмент Описова статистика (Descriptive Statistics) дозволяє виводити таблицю основних статистичних характеристик і параметрів для одного чи декількох вихідних значень. Щоб застосувати інструмент Описова статистика, виберіть у меню Сервіс команду Аналіз даних, а потім у списку Інструменти аналізу (Analysis Tools) виберіть цей інструмент і натисніть ОК. На екрані з'явиться вікно діалогу Описова статистика (Descriptive Statistics). Подібно іншим інструментам пакета аналізу, Описова статистика створює таблицю констант. Якщо ця таблиця вас не влаштовує, багато статистичних характеристик, приведених у ній, можна одержати і за допомогою інших інструментів пакета аналізу формул, що використовують убудовані функції Ехсеl.

Убудовані статистичні функції використовуються для аналізу розподілу групи вимірів.

СРЗНАЧ (AVERAGE) обчислює середнє арифметичне, підсумовуючи ряд числових значень з наступним розподілом результату на кількість значень у цьому ряді. Функція має аргументи (число 1; число2; ...); вона може включати до 30 аргументів, при цьому як аргументи ігноруються порожні осередки, а також осередки, що містять логічні і текстові значення.

Чотири статистичні функції - ДИСП (VAR), ДИСПР(VARP), СТАНДОТКЛОН (STDEV і СТАНДОТКЛОНП (STDEVP) – обчислюють дисперсію і стандартне відхилення для числових значень, розташованих у діапазоні осередків. Перш ніж застосовувати ці функції, необхідно визначити, чи є представлені значення генеральної сукупності даних або ж вони представляють вибірку з цієї сукупності. Функції ДИСП і СТАНДОТКЛОН працюють тільки з вибірками з генеральної сукупності, а функції ДИСПР і СТАНДОТКЛОНП – із усією сукупністю даних.

МЕДІАНА (MEDIAN) обчислює медіану вихідних чисел. Медіана — це число, що є серединою множини чисел, тобто половина чисел має значення більші, ніж медіана, а половина чисел — менші, ніж медіана. Якщо множина складається з парної кількості чисел, то функція МЕДІАНА обчислює середнє двох чисел, що знаходяться в середині множини;

МОДА (MODE) визначає найбільше що часто зустрічається чи повторюється значення в масиві або інтервалі даних. Як і функція МЕДІАНА, функція МОДА є мірою взаємного розташування значень. Якщо множина даних не містить однакових значень, то функція МОДА повертає значення помилки #Н/Д;

Функція ЛИНЕЙ (LINEST) використовує рівняння прямої , де в – залежна змінна, – це n незалежних змінних, – коефіцієнти при цих незалежних змінних, b — константа і розраховує статистику з застосуванням методу найменших квадратів, щоб обчислити пряму лінію, яка б щонайкраще апроксимувала наявні дані. Функція повертає масив, у котрый входять усі коефіцієнти , що цілком описують розраховану пряму. Функція ЛИНЕЙН має наступні аргументи: (відомі_значення_у; відомі_значення_х; конст; статистика), де відомі_значення_у – множина значень у, що уже відомі. Цей аргумент може бути представлений одним стовпцем, одним рядком, чи діапазоном осередків. Якщо масив відомі_значення_у записаний в один стовпець, чи один рядок, то відповідно кожен стовпець або рядок масиву відомі_значення_х інтерпретується як окрема незалежна змінна. Якщо ж аргумент відомі_значення_у представлений у виді прямокутного діапазону, то в рівнянні використовується тільки одна незалежна змінна. У цьому випадку аргумент відомі _значення_х повинний бути представлений прямокутним діапазоном такого ж розміру і форми, що й аргумент відомі_значення_у.

Аргумент відомі_значення_х – необов'язкова множина уже відомих значень х. Якщо аргумент відомі_значення_х опущений, то передбачається, що він являє собою масив {1;2;3;...} такого ж розміру, як і масив відомі_значення_у.

Необов'язкові аргументи конст і статистика – повинні бути логічними константами – ІСТИНА чи НЕПРАВДА. Якщо конст має значення ІСТИНА чи опущена, то вільний член обчислюється звичайним образом, якщо ж значення НЕПРАВДА, то він покладається рівним 0.

Аргумент статистика вказує, чи потрібно повернути додаткову статистику по регресії. Якщо аргумент статистика має значення ІСТИНА, то функція ЛИНЕЙН повертає наступну додаткову регресійну статистику:

se₁...se_n Стандартні значення помилок для коефіцієнтів

Se_b Стандартна помилка для константи r² Коефіцієнт детермінованості

se_y Стандартна помилка для оцінки в

F F-статистика

Df Ступені волі

ss_reg Регресійна сума квадратів

ss_resid Залишкова сума квадратів

Перш ніж створювати формулу, що використовує функцію ЛИНЕЙН, необхідно виділити діапазон осередків, достатній для розміщення масиву значень, що повертаються нею. Якщо аргумент статистика має значення чи НЕПРАВДА чи опущена, то функція ЛИНЕЙН повертає тільки лінійний масив (вектор), у кожнім осередку якого міститься по однієї незалежної змінної m, а в останньому осередку масиву – константа b. Якщо для цього аргументу задане значення ІСТИНА, то масив, що повертається, буде мати наступну структуру:

m_n m_n-1 ... m₂ m₁ b

se_n se_n-1 ... se₂ se₁ se_b

r² se_y

F df

ss_reg ss_resid

Після виділення діапазону для масиву, що повертається, даних необхідно увести функцію і натиснути клавіші Ctrl+Shift+Enter, щоб результат був представлений у вигляді масиву. Зверніть увагу, що коефіцієнти і значення стандартних помилок для незалежних змінних повертаються в зворотному порядку. Наприклад, якщо чотири незалежні змінні розташовуються в чотирьох різних стовпцях, то функція ЛИНЕЙН розглядає крайній лівий стовпець як дані для змінної х₁, але при цьому значення коефіцієнта m₁ з'явиться в крайньому правому стовпці вихідного масиву.

Функція ЛГРФПРИБЛ (LOGEST) працює також, як функція ЛИНЕЙН, але використовується при аналізі нелінійних залежностей. Вона повертає параметри експонентного наближення, тобто значення коефіцієнтів для кожної незалежної змінної і константу b. Функція ЛГРФПРИБЛ має ті ж самі аргументи: (відомі_значення_у; відомі_значення_х; конст; статистика), що і функція ЛИНЕЙН і повертає аналогічний масив результатів.

Якщо для необов'язкового аргументу статистика задане значення ІСТИНА, то разом з параметрами експонентної кривої функція додатково повертає статистику по регресії.

При аналізі статистичного матеріалу можна збирати дані з декількох вихідних робочих аркушів в одному. При цьому вихідні аркуші можуть знаходитися як у тій же самій книзі, так і в будь-який іншій. Вікно діалогу Консолідація (Consolidate) з'являється на екрані, якщо вибрати в меню Дані (Data) команду Консолідація (Consolidate).

Команда Консолідація може бути використана для різних цілей, наприклад:

• Для зв'язку консолідованих даних з вихідними, щоб усі зміни у вихідних аркушах відбивалися й у підсумковому аркуші;

• Для консолідації вихідних даних без створення зв'язків;

• Можна консолідувати дані по розташуванню (by position). У цьому випадку Ехсеl збирає інформацію з однаково розташованих осередків усіх вихідних аркушів;

• Також можна консолідувати дані по категоріях (by category), використовуючи як основу для об'єднання аркушів заголовки стовпців чи рядків. Такий спосіб консолідації більш гнучкий. Наприклад, якщо дані за січень на різних аркушах знаходяться в різних стовпцях, то при консолідації по категоріях такі дані будуть об'єднані;

При консолідації можна використовувати будь-яку функцію, приведену в списку Функція (Function) вікна діалогу Консолідація. За замовчуванням установлена функція Сума, однак можна вибрати одну з наступних функцій: Кількість значень (Count), Середнє (Average), Максимум (Мах), Мінімум (Min), Добуток (Product), Кількість чисел (Count Nums), Незміщене відхилення (StdDevp), Зміщене відхилення (StdDevp), Незміщена дисперсія (Var) і Зміщена дисперсія (Varp);

Консолідувати можна інформацію як з аркушів відкритих у даний момент книг, так і з книг, збережених на диску. Книга, у якій розташований лист із консолідованими даними, повинна бути відкрита. Але вихідні книги можуть залишатися закритими — звичайно, за умови, що Ехсеl надано достовірні зведення про їхнє місцезнаходження. У противному випадку вони не будуть знайдені. Перш ніж створювати консолідований лист треба зберегти всі підтримуючі його книги.

Ще одним могутнім інструментом обробки статистичних даних є Майстер зведених таблиць , що викликається командою Зведена таблиця з меню Дані.

Звіт зведеної таблиці являє собою інтерактивну таблицю, за допомогою якої можна швидко узагальнювати великі обсяги даних. Звіт зведеної таблиці можна створити на основі списка Microsoft Excel, зовнішньої бази даних, декількох аркушів Excel чи іншого звіту зведеної таблиці.  Звіти зведених таблиць використовуються в Microsoft Excel для автоматичного виконання сортування, обчислення проміжних і загальних підсумків.Звіт зведеної таблиці містить поля, кожне з який відповідає стовпцю в таблиці вихідних даних і узагальнює дані декількох рядків вихідних даних. Поле в звіті зведеної таблиці - категорія даних, отримана з поля вихідного списку, чи таблиці бази даних. Наприклад, поле «Місяць» у вихідних даних стає полем «Місяць» у звіті зведеної таблиці чи зведеної діаграми. Елементи вихідних даних, такі як «Березень», «Квітень», стають заголовками рядків, стовпців чи елементами полів сторінок звіту зведеної таблиці.

Поля в звіті зведеної таблиці містять елементи даних, розподілені по рядках чи стовпцях. Елемент -подкатегория поля зведеної таблиці . Елементи в звіті зведеної таблиці визначаються унікальними значеннями в поле бази даних чи у стовпці аркуша. Так, полю «Місяць» можуть відповідати елементи «Березень», «Квітень» і так далі. У звіті зведеної таблиці елементи виводяться як підписи рядків чи стовпців або відображаються в списках полів сторінок.

На кнопках полів відображаються імена полів із джерела даних. Щоб елементи в області даних відображалися в звіті зведеній таблиці як підписи рядків чи стовпців, потрібно розташувати їх за допомогою миші по вертикалі чи по горизонталі. У звіті зведеної діаграми ці елементи можна перетягнути в область категорий або ряда данных. Кнопки полів можна також перетягнути мишею в область даних і одержати в такий спосіб підсумкові значення по підписах даних, або в область сторінки, щоб дані елементів виводилися по окремості в полях сторінки.

Осередки на перетинанні рядків і стовпців відображають узагальнені дані для елементів, розташованих у верхній частині стовпця і лівої частини рядка. Можна змінювати місцями рядки і стовпці для одержання різних зведень по вихідним даним, фільтрувати дані, відображаючи різні сторінки, або відображати подробиці по потрібних областях.

Поля рядок- це поля з базового джерела даних, яким у звіті зведеної таблиці задана орієнтація по рядках. Всі інші поля рядків називаються зовнішніми. Внутрішнє і зовнішні поля рядків мають різні атрибути. Елементи в самім крайнім зовнішнім полі відображаються тільки один раз, але в інших полях елементи повторюються необхідну кількість разів.

Поле стовпця - поле, якому в звіті зведеної таблиці задана орієнтація стовпця. Більшість структурованих звітів зведених таблиць не містять полів стовпців.

Елемент - підкатегорія чи складова частина поля зведеної таблиці. Елементи представляють унікальні записи в межах одного поля чи стовпця вихідних даних. Елементи відображаються як підписи рядків чи стовпців або в списках, що розкриваються, для полів сторінок.

Поле сторінки - поле, якому задана орієнтація сторінки (фільтра). При виборі чергового елемента в полі сторінки змінюється весь звіт зведеної таблиці, відображаючи тільки ті узагальнені дані, що зв'язані з обраним елементом. Кожен унікальний запис, чи значення, чи поле стовпця , чи списку таблиці стає елементом списку в полі сторінки.

Поле даних-   поле з вихідного списку чи бази даних, що містить дані, що узагальнюються. Поле даних звичайно узагальнює числові дані, але базові дані також можуть бути текстовими. За замовчуванням у Microsoft Excel для узагальнення текстових даних у звітах зведених таблиць використовується підсумкова функція РАХУНОК, а для узагальнення числових даних — функція СУМ.

Область даних -  частина звіту зведеної таблиці, що містить підсумкові дані. Осередки в області даних відображають узагальнені дані по елементах полів рядків і стовпців. Кожне значення в області даних представляє зведення даних з вихідних записів чи рядків.

Стрілка списку поля розташована в правій частині кожного поля. Клацнувши цю стрілку можна вибрати елементи, що потрібно відобразити.

Для узагальнення підсумкових значень полів даних у звітах зведених таблиць використовуються підсумкові функції, такі як функції суми, підрахунку кількості значень і знаходження середнього значення. Ці функції дозволяють також автоматично обчислити проміжні і загальні підсумки, якщо ці значення потрібно відобразити.

Список використаної літератури

1. Л.З.Румшиський. Елементи теорії імовірностей. Обрані глави вищої математики для інженерів і студентів Втузів - Москва ,Наука ,1976р.-234 с.

2. Тимошенко Г.М. , Зима П.Ф. Теорія інженерного експерименту. Навчальний посібник – Донецьк , ДПІ , 1984 р.-60с.

3. Інформатика: Базовий курс / С.В.Сімонович і ін. – Пітер, 2002.- 640с.

Додаток 1.Зразок виконання титульного аркуша

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра “Обчислювальної математики та програмування”

ЗВІТ

З лабораторної роботи № 1 за темою:

"ххххххххххххххххххх"

з дисципліни “хххххххххххххххххххххх”

Виконав студент гр. ХХ-05 І.І.Іванов

Викладач П.П.Петров

Донецьк, 2011 р.

Додаток 2. Вимоги до оформлення лабораторної роботи

Звіт по лабораторній роботі повинний містити:

- ціль роботи;

- завдання; завдання на роботу розміщується відразу ж після титульного аркуша і визначає обсяг і порядок виконання роботи в конкретному виконанні;

• математичну модель і її опис;

• вихідні дані до роботи і попередні розрахунки (якщо вони необхідні);

• результати роботи;

• висновки; висновки являють собою оцінку основних результатів, отриманих студентом у підсумку виконання лабораторної роботи.