Метасистема для вывода уравнения процесса

При применении формально-аксиоматического метода принято выделять объект исследования - конструируемую систему или процесс – и метасисиему – инструментарий, используемый для этого конструирования. В нашем случае при таком выводе в качестве системы, объекта исследования рассматривается уравнение процесса, то инструментом для такого вывода будет метасистема, определяемая набором мета-аксиом (требований) и мета-правил вывода. Поэтому нам надо приступить к выдвижению этих наиболее существенных требований.

Итак, для определения вида уравнения процесса мы выдвигаем следующие требования.

1. Свойство самоподобия является одним из существенных свойств фракталов. Поэтому его необходимо "включить" в разрабатываемый математический инструментарий, а для этого потребовать, чтобы функциональные зависимости всех переменных, входящих в уравнение процесса, были определены на комплексной плоскости в классе так называемых аналитических функций²³.

2. Итеративный процесс "развивается" дискретно во времени , т. е. в фиксированные моменты времени, когда . Поэтому функционал такого процесса дискретен, должен быть формально задан комплексным выражением, зависящим от комплексных переменных и должен представлять собой "цепочку" рекурсивных дискретных преобразований .

3. Сценарий развития итеративного процесса должен учитывать "настройку" на конкретные статистические данные обрабатываемой выборки. Суть такой обработки сводиться к оценке параметров, - например, таких как исчисление средних величин, оценка их мер рассеяния, построение для них экспериментальных распределений вероятностей случайных событий, выдвижение и проверка для их различных статистических гипотез о характере распределений, с использованием для этого различных моделей функций распределения вероятностей и проведением оценки их параметров.

4. Функционал уравнения итеративного процесса должен учитывать в своей динамике общий ("кумулятивный") эффект влияния, который оказывают на процесс центры метастабильных состояний. Поэтому в обработку данных в ходе этого процесса необходимо включить фактор, учитывающий это существенное свойство, и определить для него координаты наборов аттракторов. Оценки этих наборов можно вычислить уже при обработке выборок и построении для них экспериментальных распределений вероятностей случайных событий.

5. Специфика рассматриваемого итеративного процесса связана с генерацией фрактальных множеств предметных величин и сопряженных с ними "логистических" величин - величин функции принадлежности. Поэтому в разрабатываемый инструментарий для построения уравнения итеративного процесса должны быть включены следующие факторы:

• "предметный" фактор,

• "логистический" фактор,

• "статистический" фактор (как "память о прошлом"),

• стохастический фактор или фактор хаоса, который привносит в рекурсивную статистику все новые и новые изменения, и поэтому его можно также назвать фактором "забывания прошлого", локальной неустойчивостью,

• фактор "кумулятивного влияния" аттракторов на ход динамики итеративного процесса и

• фактор времени.

6. Необходимо выбрать такую форму уравнения итерируемого процесса, чтобы в ней учитывалась упомянутая диллема "рекурсия-диалектика".

7. Помимо приведенных выше требований (мета-аксиом) 1 – 5, нам надо также определить и мета-правило вывода, т. е. правило для вывода уравнения процесса. На основе этого правила в системе или процессе должны учитываться переходы из одного состояния в другое. Существенным свойством такого правила, учитывающего переходы, на наш взгляд, должна быть инвариантность некой мета-формулы, определяемой из перечисленных блоков факторов и задающего при выводе определенный вид симметрии - некий закон сохранения, - например, закон неизменности (инвариантности) ”выбранной” мета-формулы, выражение которой включает в себя функциональную зависимость блока перечисленных факторов и сохраняется во времени

Наш выбор формы этого закона инвариантности определяется формулами: и , а его интерпретация гласит, что полная производная этого выражения от времени равна нулю.

Ввиду сложности выполняемых преобразований и вывода, мы осуществим вначале вывод уравнения процесса в дифференциальной форме , а затем преобразуем его к дискретной, разностной форме