Общие требования к разработе метасистемного инструментария

Перед началом процесса моделирования приведем, в качестве шутки, один из известных философских казусов-вопросов, который волновал философов в конце 19-го и начале 20-го столетий: "Что первично: яйцо или курица?" На наш взгляд, с позиций математика-разработчика, вопрос не вполне корректен. Ведь даже известный сказочный герой папа Карло для изготовления Буратино имел свой традиционный инструмент (топор). Разработка "хорошего яйца" невозможна без "хорошей курицы". Поэтому, упомянутый вопрос "о первичности", на наш взгляд, отпадает сам собой, а вот требования, предъявляемые к метасистемному инструментарию – "курице" – играют очень важную роль.

Любому математику, ставящему перед собой цель разработки качественно новой модели задачи или математического аппарата, например, фрактальной логики, или, образно говоря, задачу "снести фрактальное яйцо", прежде всего потребуется "курица" – сформулированный и обоснованный метасистемный инструментарий. Важно, чтобы мета-аксиомы и мета-правила вывода этого инструментария были обоснованы, полны и непротиворечивы, а вопрос о том, будет ли достаточным использование лишь традиционных математических понятий или же потребуется ввести в разработку новые понятия, операторы и кванторы, является открытым, так как в этом процессе необходимо выделить наиболее важные, существенные свойства и отбросить все лишнее.

Особенность разработок, осуществляемых на базе метасистемного подхода, состоит в том, что в них создание "курицы" – метасистемы - предшествует созданию "яйца" – системы (или процесса). В нашем случае в роли одного из таких "яиц" выступает уравнение дискретного итерируемого процесса. Но весь фокус разработки как раз и состоит в том, что при создании "курицы" (метасистемы) должны учитываться совершенно новые требования внутренней непротиворечивости и конструктивной замкнутости к разрабатываемому "яйцу", так как без этого "яйцо" не будет правильно функционировать или "расколется". Эти новые требования должны включаться в метасистему как необходимые мета-аксиомы и мета-правила вывода. Формализация последних должна проявляться в разрабатываемых моделях систем (или процессов) в неких формах инвариантности - "законах" сохранения формы взаимосвязи функциональных переменных относительно всех существенных блоков факторов, включаемых в модель.

Хаос и локальная неустойчивость нелинейных стохастических систем

За последние два-три десятилетия понятия "фракталы" и "хаос" наполнились новым содержанием, стали, по сути, фундаментальными понятиями, которые используются в исследованиях научного и прикладного характера по многим направлениям.

Наиболее сильным видом неустойчивости, который возможен даже при финитном движении системы, является локальная неустойчивость. Именно благодаря этой неустойчивости возникают динамическая стохастичность и хаос. Поясним, что такое "локальная неустойчивость".

Обозначим через расстояние между двумя точками в фазовом пространстве (см. рис. 1а), принадлежащими разным траекториям в момент времени . Тогда локальная неустойчивость проявится в том, что существует такое направление, вдоль которого расстояние между траекториями растет экспоненциально со временем: .

Рис. 1. а) Локальная неустойчивость. б) Более сильная локальная неустойчивость.

без запутывания траек- Запутывание фазовых траекторий - это

торий. следствие выполнения закона "сохранения

площади фазовой капли во времени".

Рис. 2. Степень усложнения "фазовой капли" (фрактального объекта) со временем

а) Первоначальный фазовый б) Фазовый портрет "капли" через некоторое время.

портрет "капли".

Обращает на себя внимание выполнение "закона сохранения площади фазовой капли" (для эргодических систем) – заштрихованные области на обоих рисунках имеют одинаковые площади. Инкремент неустойчивости является функцией точки в фазовом пространстве . Мы свяжем его с функцией хаоса ¹² через отношение: , где . Тогда выражение инкремента неустойчивости примет вид: .

Свойство системы, которое выражено приведенным выше уравнением, может проявляться для всех начальных условий. Однако локальная неустойчивость системы означает, что существует область конечной меры, - такая, что если выбрать в ней любую из точек в качестве начальной, то малое возмущение ее приведет к сильному расхождению соответствующих траекторий. Если движение финитно, то изначально близкие траектории не могут разойтись дальше, чем на размер области движения. В результате происходит сильное запутывание. Фазовая линия правильной формы через короткое время принимает сильно изрезанную форму (см. рис.2). Степень усложнения "фазовой капли" (фрактального объекта) растет со временем (см. рис. 2а и 2б) и может быть оценена по так называемым эффектам перемешивания и перколяции¹³.