Фракталы как предвестники катастроф и фрактальная логика

Термины "фрактал" и "фрактальная геометрия" появились в конце 1970-х гг. и с середины 1980-х гг. прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово "фрактал" образовано от латинского fractus и в переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, изучением которых он занимался⁹, ¹⁰.

Исследуя биржевую статистику и аналитику по ценам на хлопок, непредсказуемые взлеты и обвалы этих цен, Мандельброт обнаружил, что произвольные, на первый взгляд, колебания в ценах могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не соответствует стандартным кривым, обычно изображаемым в традиционной статистике. Результаты анализа биржевых колебаний цены хлопка в течение дня, проведенного Бенуа Мандельбротом по новому методу, оказались ошеломляющими не только для его самого, но и для биржевых аналитиков.

Суть метода, примененного Мандельбротом, сводилась к следующему. Имелись надежные данные по ценам на хлопок более, чем за сто лет. Колебания цены в течение дня были непредсказуемы, но компьютерный анализ показал тенденцию изменения цены. Мандельброт сопоставил график колебания цены в течение одного дня с графиком колебаний цен за более длительный период времени. Наложив графики друг на друга, он обнаружил симметрию длительных колебаний цены и колебаний кратковременных. Это сбило с толку и удивило экономистов. Даже для самого Бенуа Мандельброта полный смысл этого открытия был сначала до конца не ясен. Только позже он понял, что начал разрабатывать рекурсивный фрактальный метод в экономике.

Наблюдения над процессами объективной реальности, в которых проявляются фрактальные свойства, убеждают нас в том, что фракталы, в случаях, когда их появление фиксируется, – это "буревестники", которые всегда появляются перед бурей. Они – SOS-сигналы систем, переходящих в фазу катастрофы¹¹.

Важно и то, что разрушение, фрактализация систем, т. е. их распадение на части – фракталы – происходит при появлении в них особого рода симметрии. Она проявляется в геометрическом масштабе, в формах динамики во времени, в алгоритмических «повторах». Основной тип симметрии, передаваемой фракталам, - это – самоподобие, самоаффинность, т. е. свойства того «портрета» системы, который может «запомниться» перед ее разрушением.

Безусловно, общее количество "портретов", этих "предсмертных масок" системы и их состояний, ведущих к ее хаотизации или полному разрушению, практически может быть неограниченно. Важно обратить внимание на то, что общее количество этих "портретов" отражает переход из состояния, когда система рассматривается как единое целое, в качественно иные состояния – состояния "ансамбля кусков". Для этого "ансамбля кусков" характерно, прежде всего, такое его свойство, как нечеткость и неопределенность заданности. Поэтому данный тип "ансамбля" можно классифицировать еще и как нечеткую, хаотизированную, нелинейную, динамическую систему с неустойчивыми параметрами.

Как вы думаете, какой тип логики наиболее подходит для формализации этих ансамблей систем, - например, при прогнозировании динамики и обосновании прогнозных сценариев? На наш взгляд, ответ очевиден. Это должна быть нечеткая фрактальная трехзначная логика, т. е. логика для нечетких объектов с нечеткими свойствами, учитывающая неопределенность и фактор времени в процессах развития катастроф. И, безусловно, разработка такой фрактальной логики должна осуществляться на основе метасистемного подхода.