Кванторы и квантификация. Специфика фрактальной квантификации

Впервые понятие "квантор" ввел в математическую логику Чарльз Пирс⁷. Первоначально это понятие было связано с логикой предикатов, что отразилось на его исходном определении. Слово "квантор" происходит от лат. quantum – "сколько", "количество"⁸. В рамках логики предикатов кванторы – это общее название логических операций, которые по предикату строят высказывание, дающее количественную характеристику области истинности предиката .

Наиболее употребительны квантор всеобщности ("для всех ") и квантор существования ("для некоторых "). Высказывание означает, что, область истинности предиката совпадает с областью значений переменной . Высказывание означает, что область истинности предиката не пуста.

Если интересуются поведением предиката не на всей этой области значений переменной , а лишь на ее части, выделяемой предикатом , то часто употребляют так называемые ограничительные кванторы и , при этом высказывание означает то же, что и , а высказывание - то же, что , где - знак конъюнкции, а - знак импликации.

В более общем смысле кванторы - это операторы математической логики, применяемые к логическим выражениям и дающие характеристику области предметов или области предикатов, к которой относится данное логическое выражение.

В рамках разрабатываемой трехзначной фрактальной логики мы вводим в рассмотрение два новых квантора:

• квантор фрактальной фазификации,

• квантор фрактальной дефазификации.

Введение квантора фрактальной фазификации в математический инструментарий этой логики связано с генерацией двух фракталов (фрактальных множеств) с нечеткими величинами:

• фрактала значений предметной переменной,

• фрактала значений функции принадлежности.

Реализацию квантора фрактальной фазификации мы свяжем с процедурой, выполняемой на основе разработанной нами модели рекурсивного итерируемого процесса, сущность и схема которого будут показаны ниже. А реализацию второго квантора – квантора фрактальной дефазификации – свяжем с процедурой определения центров тяжести для двух порожденных фрактальных множеств – фрактала значений предметной переменной и соответствующего ему фрактала значений истинности. В шутку, мы называем эти фракталы "зоопарками" – "зоопарком" значений предметных переменных и "зоопарком" значений функции принадлежности.

Формально любая из операций над двумя нечеткими множествами и из нечеткой трехзначной логики может быть преобразована в кортеж операций (упорядоченную 3-ку) нечеткой фрактальной логики. Этот кортеж состоит их цепочки операторов : “ ”, где:

- оператор логической операции нечеткой трехзначной логики

- оператор квантора фрактальной фазификации

- оператор квантора фрактальной фазификации

Более компактно, со скобками, устанавливающими порядок выполнения действий, этот кортеж можно записать так:

, где:

• - верхняя граница - максимальное число итераций в процессе генерации фракталов;

• - нижняя граница – исходное, начальное состояние (перед выполнением итерационного процесса);

• - индекс -ого шага итерации

• - индекс -го элемента нечетких множеств и

• -предметная переменная нечетких множеств и для -го элемента в -ого шаге итерации, представленная в комплексной форме: , где - вещественная компонента, интерпретируемая как предметная переменная, - мнимая компонента – волатильность , а - мнимая единица.

• [ , , ] – кортеж значений истинности функции принадлежности , получаемый после выполнения операции нечеткой трехзначной логики, но до начала выполнения итерационного процесса, т. е. когда .

В результате выполнения итерационного процесса формируются два фрактала значений:

• - "зоопарк" значений предметных переменных и

• - "зоопарк" значений функции принадлежности.

Операция фрактальной дефазификации для этих фрактальных "зоопарков", в ходе которой определяются "центры тяжести" этих фракталов, определяется по формулам:

и ,

где - число выполненных итераций при формировании фрактала. В пределе стремится к бесконечности. А когда - достаточно большое, но конечное целое число, мы получаем так называемый "незавершенный" фрактал – предфрактал. Его "центры тяжести" для предметной переменной и переменной "состояния истинности" определяются по аналогичным соответствующим формулам, но без учета предельного перехода:

и .

Раскроем вид оператора на примерах бинарных логических операций над нечеткими множествами и . Эти операции должны выполняться до начала итерационного процесса , когда .

1. Операция дизъюнкции (объединения)

В результате выполнения операции на начальном этапе будут вычислены компоненты функции принадлежности по формулам:

;

;

.

После чего и предметная переменная для всех элементов множеств, и соответствующая ей функция принадлежности будут приведены к комплексной форме: и . Далее, как мы уже отметили, следует выполнение кванторов фрактальной фазификации и дефазификации.

2 Операция исключающей дизъюнкции (искючающего объединения) двух нечетких множеств

В результате выполнения операции на начальном этапе будут вычислены компоненты функции принадлежности по формулам:

;

;

.

После чего и предметная переменная для всех элементов множеств, и соответствующая ей функция принадлежности будут приведены к комплексной форме: и . Далее, как мы уже отметили, следует выполнение кванторов фрактальной фазификации и дефазификации.

3 . Операция конъюнкции (пересечения) двух нечетких множеств

В результате выполнения операции на начальном этапе будут вычислены компоненты функции принадлежности по формулам:

;

;

.

После чего и предметная переменная для всех элементов множеств, и соответствующая ей функция принадлежности будут приведены к комплексной форме: и . Далее, как мы уже отметили, следует выполнение кванторов фрактальной фазификации и дефазификации.

3 . Операция импликации

В результате выполнения операции на начальном этапе будут вычислены компоненты функции принадлежности по формулам:

;

;

После чего и предметная переменная для всех элементов множеств, и соответствующая ей функция принадлежности будут приведены к комплексной форме: и . Далее, как мы уже отметили, следует выполнение кванторов фрактальной фазификации и дефазификации.

Все остальные логические операции преобразуются по этой же схеме. Считаем, что примеров приведено достаточно, чтобы понять общую схему выполнения преобразований фрактальных логических операций и перейти к рассмотрению проблем, связанных с разработкой модели дискретного итерационного процесса.