Раздел 4 звёздчатые продолжения

Звёздчатые фигуры

Звёздчатые многоугольники образуются в результате продления их сторон до взаимного пересечения. Продолжения, в подавляющем большинстве, образуют ограничения новых частей плоскости. Этот феномен не обнаруживается в случае с треугольником, квадратом, прямоугольником, ромбом, параллелограммом, так как продолженные стороны будут расходиться. Иной результат дают n - угольники, у которых число сторон больше четырёх. Исключением являются трапеции, дельтоиды.

Продолженные стороны таких многоугольников пересекаются и во внешних частях плоскости ограничивают новые отсеки. Заданный n - угольник остаётся, так сказать, внутри плоскости в окружении отсеков. Таким образом, проявляется свойство плоскости - её продолжение, а фигуры, располагающиеся внутри и на внешних частях плоскости - её ограничения.

Если продолжить стороны правильного треугольника или квадрата, то обнаружим отсутствие каких-либо отсеков. Продолженные их линии расходятся и не образуют новых частей. Продолжения сторон пятиугольника выглядят иначе (рис. 31 а, б, в).

Рис. 31. Рис. 32.

Равносторонние (правильные) n-угольники с числом сторон пять, шесть, семь, восемь и т. д. дадут новые ограничения продолженными сторонами. Например, продолжения равностороннего пятиугольника образуют пятиконечную звезду (пентаграмму). В случае с правильным восьмиугольником продолжения сторон приводят к образованию восьмиугольной звезды (октаграммы). На основе правильного десятиугольника создаётся десятиугольная звезда (декаграмма). Смотреть рисунок 32 а, б, в.

Продолжения сторон n –угольников на плоскости могут применяться в декоративном оформлении плоскости. Достаточно применить к соответствующим n-угольникам геометрические свойства плоскости: любая прямая, соединяющая две её точки, целиком принадлежит ей. Например, соединим смежные вершины (точки) n-угольной звезды прямыми линиями. Затем продолжим их до взаимного пересечения. В результате новые прямые, разбивая плоскость, будут прибавлять новые отсеки к уже существующим отсекам.

Продолжения многогранников в трёхмерном пространстве отличаются от продолжений многоугольников. В случае с n-угольными фигурами нетрудно убедиться в том, как их продолженные стороны преобразуют двухмерное пространство плоскости. Линии членят плоскость и оставляют на ней добавленные к исходной фигуре новые части. Представить преобразование двухмерного моночертёжа многогранника в трёхмерный образ значительно сложнее. Представить множество пересекающихся плоскостей граней не всегда удаётся. В трёхмерном случае на специальных чертежах (моночертежах) изображаются следы продолженных плоскостей, которые прибавляют к исходному многограннику новые части. В процессе макетирования важно располагать демонстрационным материалом, своего рода базой данных, которая позволяет наглядно ориентироваться в трёхмерных продолжениях. Таким материалом являются рёберно-сетчатые модели многогранников. По ним удобно визуально выделять различные плоскости сечения многогранника, которые связаны с процессом продолжений. Нити, расположенные на секущих плоскостях, моделируют следы, которые изображаются на моночертежах. Научные публикации остаются кладовой математических открытий, которые демонстрируют образование удивительных звёздчатых форм платоновых и архимедовых многогранных тел.

Обратимся к существующему опыту, поясняющему процесс продолжений на конкретном примере: «Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим многообразием отсеков - частей пространства, ограниченных плоскостями граней» (4, с.51).

Проиллюстрируем изложенное утверждение простым способом. Если к граням трёхмерного двадцатигранника примкнуть тонкие картонные «плоскости», то получится модель продолжения его граней. Такая примитивная модель позволяет демонстрировать само продолжение параллельной пары граней икосаэдра. Но стоит попытаться мысленно представить несколько пересекающихся плоскостей, скорее всего, наступит разочарование. В таком случае картина трёхмерного продолжения плоскостей двадцатигранника, представляется искаженно.