Взгляд изнутри

На рисунке 28 внизу (слева) изображена рёберная модель икосаэдра, вверху (слева) - один из двенадцати его пятигранных углов. Каждый из них состоит из пяти равносторонних треугольников. В вершинах углов сбегаются по пять сторон треугольников, а их свободные стороны ограничивают равносторонние пятиугольники.

Рис. 28.

Они лежат на диагональных плоскостях икосаэдра.

Перенесём взгляд на правую сторону рисунка 28. На верхнем изображении отсутствует пятигранный угол. На плоскости пятиугольника образована пентаграмма (пятиконечная звезда). Её стороны выделены красным цветом. Напомним, что стороны пентаграммы - большие стороны так называемых « золотых» прямоугольников икосаэдра. Каждая сторона пентаграммы содержит по две точки, которые делят их в отношении «золотого сечения». То есть отношение стороны пентаграммы к более короткой её части равно примерно 1,618: 1. Для нахождения точек на стороне пентаграммы могут применяться числа Фибоначчи. То есть элементы числовой последовательности (1, 1, 2, 3, 5, 8, …), в которых каждый последующий член равен сумме двух предыдущих.

Число диагональных плоскостей, на которых отражаются пентаграммы, соответствует числу вершин икосаэдра, так и числу граней двойственного ему додекаэдра.

На правой стороне рисунка 28 (внизу) представлена та же модель рёберного икосаэдра. Её внутреннее пространство заполнено нитями. Красным цветом выделены рёбра пятиугольных граней додекаэдра. Они образованы пересечением больших сторон «золотых» прямоугольников. В результате обнаруживаем во внутреннем пространстве рёберного икосаэдра двойственный ему додекаэдр. Рассмотрим изображение на рисунке 29.

Рис. 29.

На рисунке 29 представлена проекция наложенного многогранного угла на плоскость чертежа. Основание угла совпадает с продолжениями икосаэдра. Через вершину угла, в котором сбегаются три пятиугольные грани додекаэдра, проходит ось симметрии третьего порядка перпендикулярно к плоскости проекции. Основание многогранного угла додекаэдра на чертеже ограничено неправильным шестиугольником, стороны которого, выделены синим цветом. Из шести его сторон, три являются рёбрами додекаэдра, а три - диагоналями его пятиугольных граней. Число диагональных плоскостей, через середины которых проходят оси симметрии третьего порядка, соответствует числу вершин додекаэдра и числу граней двойственного ему икосаэдра.

Рассмотрим следующее изображение (рис. 30).

Рис. 30.

На нём представлена рёберно-сетчатая модель додекаэдра с видом на «вершину» (слева) и на « ребро» (справа). Красным цветом отмечены линии, упоминаемые как стороны «золотых» прямоугольников. На виде «вершина» три его стороны (красные линии) пересекаются и ограничивают в центре диагональной плоскости додекаэдра равносторонний треугольник. Всего равносторонних треугольников, внутри додекаэдра, равно двадцати, что соответствует числу его вершин. При рассмотрении трёхмерной рёберно-сетчатой модели, наблюдаем внутри пространства додекаэдра двойственный ему икосаэдр с его продолжениями. На рисунке 30 (справа) две горизонтальные линии, выделенные красным цветом, являются большими сторонами динамического прямоугольника. Его малые боковые стороны на проекции - рёбра додекаэдра.