Динамические прямоугольники

Примеры пропорций «золотого сечения» известны из множества предметов быта, объектов техники, архитектуры, произведений изобразительного, декоративно-прикладного искусства и дизайна. Они создают впечатление гармоничных пропорциональных форм. Художественный эффект размерно-пропорциональных отношений частей проектируемого объекта, обосновывается факторами антропометрии. Наряду с ними играют важную роль технологические, потребительские, эстетические и другие целесообразности. Свойства «золотой» пропорции имеют место в практической и творческой деятельности различных специалистов.

Экспериментальное формообразование, основанное на структуре правильных или полуправильных многогранниках, приводит к свидетельству того, что свойства «золотых» пропорций - неотделимая сторона их существования. То есть, существования многогранников в таких формах, какими они известны в геометрии. Из этого следует, что геометрические фигуры, которые включаются экспериментатором в тот или иной пространственный образ, контролируются простыми отношениями «золотых» пропорций.

На рисунке 23 изображены прямоугольные схемы, которые демонстрируют пропорционирование динамических образов.

На рисунке 23 квадрат является основой для построения пропорциональных отношений между фигурами: а - прямоугольник строится по «золотому сечению»; б - динамическое расчленение «золотого» прямоугольника; в - построение прямоугольника ; г - построение прямоугольника ; д - построение прямоугольника , и т. д.; е - вариант - схема динамического построения (1, с. 47).

Рис. 23.

Для того чтобы создавать динамические прямоугольники , …, то для каждого из них строится предшествующий прямоугольник. Например, «золотой» прямоугольник предшествует построению прямоугольника . Прямоугольник предшествует построению прямоугольника , а прямоугольник построению прямоугольника и т. д. Диагонали этих прямоугольников применяются в качестве радиусов. С помощью дуг получают засечки точек на продолженных сторонах оснований прямоугольников. Из полученных точек строятся перпендикуляры и оформляются в фигуры, которые увеличивают исходные прямоугольники (рис., 23 г).

Проиллюстрируем «золотые» пропорции на примере двойственной пары икосаэдра и додекаэдра, которые имеют к ним прямое отношение. Используем квадрат в качестве основы - плоскости проекции. На ней отражены фрагменты двойственной пары, отсеченные экваториальными плоскостями (рис. 24, 25). Каждая проекция ограничивается квадратом ABCD. Отрезки координатных осей, принадлежащие экваториальным плоскостям, равны между собой и равны сторонам квадрата ABCD.

На проекции икосаэдра (рис. 24) представлено разбиение внешнего квадрата на четыре равные части (малые квадраты). К каждому из четырёх квадратов применяется способ построения «золотого» прямоугольника по методу квадрата. На чертеже белыми кружками отмечены точки, из которых как из центров соответствующим радиусом засекаются точки на сторонах AD и BC. Соединение противоположных пар точек, приводит к созданию «золотого» прямоугольника. Его стороны, принадлежащие плоскости проекции, выделены красным цветом.

Рис. 24. Рис. 25.

Чтобы построить пропорциональный прямоугольник додекаэдра (рис. 25), необходимо, как и в случае с проекцией икосаэдра, выполнить разбиение внешнего квадрата ABCD на четыре равные части. К каждому малому квадрату применяется схема построения прямоугольника . Из точек A, B, C и D, как из центров соответствующим радиусом засекаются точки на сторонах AD и BC. Полученные пары противоположных точек соединяются между собой, образуя пропорциональный прямоугольник. Его большие стороны на схеме выделены красным цветом.

На рассмотренных двух изображениях (рис. 24, 25), относящихся к двойственной паре, вынесены обозначения соответствующие пропорциям «золотого сечения».

Внешние границы квадрата заключают фигуру сечения икосаэдра - неправильный шестиугольник (рис. 24). Пара его горизонтальных отрезков является рёбрами икосаэдра, а две боковые пары сторон шестиугольника - биссектрисы. Каждая из них делит грань икосаэдра на две равные части. Через серединные точки противоположных пар рёбер многогранника проходит ось симметрии второго порядка. Две из них принадлежат плоскости проекции, а третья проходит через центр симметрии. Оси симметрии второго порядка совпадают с координатными осями в трёхмерном пространстве. Таким образом, двадцатигранный икосаэдр заключается вовнутрь правильной формы куба (рис. 26). В такой «связке» через пары противоположных вершин куба и середины параллельных пар граней икосаэдра, проходят оси симметрии третьего порядка. На рисунке 26 три грани макета куба представлены рёбрами. Это сделано для наглядного восприятия трёхмерной рёберной модели икосаэдра. На гранях куба отмечены тонкими линиями (нитями) три прямоугольника координатных плоскостей.

Рис. 26.

Перейдём к рассмотрению проекции додекаэдра в определённой последовательности (рис. 25). На плоскости внешнего квадрата обнаруживается фигура сечения - неправильный шестиугольник. Он образован парой горизонтально расположенных рёбер и двумя парами биссектрис. Они делят грани додекаэдра на две равные части. У додекаэдра, как у его двойника, оси симметрии второго порядка проходят через середины противоположных пар рёбер. Видно, что две оси взаимно перпендикулярны и принадлежат плоскости проекции. Третья ось симметрии проходит через серединную точку ребра и центр симметрии многогранника, то есть перпендикулярно плоскости проекции. Оси симметрии второго порядка совпадают с координатными осями трёхмерного пространства. Это позволяет располагать додекаэдр внутри правильного куба и производить действия, подобно описанию икосаэдра.

На рисунке 27 изображены схемы пошагового деления «золотого» динамического прямоугольника. На них иллюстрируется гармоничное деление прямоугольника сетью вертикальных, горизонтальных и диагональных линий.

Рис. 27.

На основе рёберно-сетчатой модели двойственной пары икосаэдра и додекаэдра, появилась уникальная возможность для построения схемы динамических прямоугольников на одной плоскости проекции. В экваториальной плоскости лежат фигуры сечения, чередующихся по принципу двойственности многогранников в трёхмерном пространстве. На схеме д (рис.27) представлено гармоничное деление прямоугольников следами продолженных плоскостей граней двойственных многогранников (икосаэдра и додекаэдра).

Сначала производят деление исходного «золотого» прямоугольника (рис. 27 а, б, в, г) и задают контуры динамических прямоугольников. Отметим, что на нашей схеме (д) изображены сплошными толстыми линиями (синий и красный цвета) шестиугольные фигуры сечения икосаэдра и додекаэдра. Внутри неправильных шестиугольников, на плоскости проекции, лежат динамические прямоугольники. Линии сторон, отмеченные синим цветом - пропорциональные прямоугольники икосаэдра. Линии сторон, отмеченные красным цветом, принадлежат пропорциональным прямоугольникам додекаэдра.

Подчеркнём, что дополнительное деление «золотого» прямоугольника производится продолжениями плоскостей граней двойственной пары многогранников. Стороны их шестиугольных сечений, совпадающие со следами плоскостей граней, продолжены.

На схеме (рисунок 27 д) обнаруживаем точки, через которые проходят следы ответствующих продолжений. Представленная схема отражает определённую последовательность двойственной пары икосаэдра и додекаэдра в пространстве рёберно-сетчатой модели. Вершины и грани чередуются по осевым и диагональным линиям динамических прямоугольников. В соответствии с принципом двойственности по вертикальной оси и диагонали чередуются: вершина, грань, вершина, грань. А по горизонтальной оси чередуются: грань, вершина, грань, вершина и т.д., в том или ином направлениях.