Раздел 2 структура рёберных многогранников Секущие плоскости
Рёберно-сетчатые модели отражают характерные признаки секущих плоскостей, относящихся к конкретному многограннику. Математическое определение понятия «сечение», «секущая поверхность» - расслоение. Понятие плоскость входит в число основных понятий геометрии и определяется как простейшая поверхность.
Процесс формообразования, основанный на «прозрачных» рёберно-сетчатых моделях, связан со свойствами плоскостей сечения. Секущие плоскости, образно говоря, являются «разделителями» трёхмерных или двухмерных фигур. Это поверхности, на которых отражаются геометрические элементы: точки, линии, следы продолжений, n-угольные фигуры. Диагональные и экваториальные плоскости рёберно-сетчатых моделей ограничиваются n-угольными фигурами. То есть, они образуют отсеки внутри рёберной модели. По ним выбирается плоскость многогранника, и строятся чертежи методом ортогонального проецирования. «Прозрачную» модель можно воспринимать с различных точек зрения. Например, выбрав вид спереди, воспринимаем противоположную сторону изнутри. Одновременно можно переключать взгляд на другие стороны моделей. Они обладают удобоизмерительностью. Их трёхмерное пространство изнутри - наглядная среда взаимосвязанных между собой геометрических элементов. Это позволяет получать ясное представление о пространственном положении той или иной фигуры.
Не углубляясь в основы проецирования объектов, перейдём к некоторым изображениям многогранников.
Условное разбиение пространственного тела
На рисунке 13 (слева) изображены следы плоскостей сечения тетраэдра, внутри которого отсечена трёхмерная фигура - усеченный тетраэдр (тело Архимеда).
Рис. 13.
На рисунке 13 (справа) плоскости сечения проходят через серединные точки рёбер тетраэдра. Каждая из них параллельна одной из четырёх граней многогранника. В результате отсекается правильный октаэдр (тело Платона). Применяя к октаэдру аналогичный способ сечения, получится полуправильная фигура - кубооктаэдр (тело Архимеда). Рассматривая рисунок справа, можно представить звёздчатую фигуру октаэдра (Stella octangula Кеплера), как соединение двух тетраэдров, ограничив тетраэдр второй аналогичной фигурой (тетраэдром), получится звёздчатая фигура - восьмиугольная звезда. Соединение двух тетраэдров (восьмиугольной звезды) является результатом продолжения октаэдра. На рисунке (справа) прослеживается обратный порядок: продолженные четыре из восьми граней октаэдра образуют четыре треугольные грани тетраэдра.
На рисунках 14 и 15 изображены ранее рассматриваемые модели усеченного куба с видом на «грань» и «ребро».
Рис. 14. Рис. 15.
На изображениях светлые линии, выступающие за внешние контуры многогранника, принадлежат продолжениям диагональных плоскостей. Красным цветом изображены следы пересечения секущих плоскостей. Пары плоскостей взаимно пересекаются и ограничивают внутри усеченного куба ромбокубооктаэдр (тело Архимеда). На внешних гранях усеченного куба проецируются следы плоскостей сечения и точки (концы) продолженных рёбер ромбокубооктаэдра.
Проявив внимание к сети нитей, можно перейти к конструированию макетов многогранных фигур, предварительно составив необходимые чертежи продолжений и, следовательно, развёрток. Общая «картина» геометрической структуры рёберно-сетчатой модели усеченного куба, позволяет определять необходимые параметры для организации последующей работы.
В случае рассечения многогранника экваториальной плоскостью, например, икосаэдра или додекаэдра, получают две равные их половины. Предположим, что в результате рассечения икосаэдра диагональной плоскостью, одна из усеченных частей - правильная пирамида. Боковые грани её - суть равносторонние треугольники, составленные пятью гранями. В основании пирамиды лежит правильный пятиугольник. Подобных пирамид всего двенадцать, что соответствует как числу вершин икосаэдра, так и числу граней двойственного ему додекаэдра. Отметим, что эти основания пирамид лежат в диагональных плоскостях икосаэдра соответственно. Рассекая икосаэдр двенадцатью диагональными плоскостями, получают «в остатке» правильный многогранник - додекаэдр. Нетрудно представить, что все грани додекаэдра, полученного в результате рассечения икосаэдра, лежат в его диагональных плоскостях. Предположим, что продолженные рёбра двойственного додекаэдра будут сбегаться в вершинах рёберной модели икосаэдра. Они образуют пучки линий, каждый из которых состоит из пяти рёбер. К пятиугольным граням двойственного додекаэдра примыкают основания пирамид. Их боковые грани - равнобедренные треугольники. Число пирамид равно двенадцати. Так выглядит известный многогранник - малый звёздчатый додекаэдр. Перейдём от умозрительных представлений к наглядным моделям.