От чертежа до макета

В процессе моделирования геометрических фигур по принципу продолжения, у студента, естественно, возникают важные вопросы. Как, например, самостоятельно руководствоваться моночертежем? Как находить для n-угольных фигур пропорциональные, им другие фигуры? Можно ли предвидеть очертания конфигураций трёхмерных отсеков?

В популярной книге М. Веннинджера «Модели многогранников» даётся подробное описание построения макетов звёздчатых многогранников. Перечисляются необходимые указания, относящиеся к тому или иному действию - от создания чертежей до сборки деталей макета. Автор любезно делится своим опытом и даёт полезные советы, от которых зависит результат работы: аккуратное выполнение чертежа, определение размера будущей модели, создание трафаретов, копий, расцветок, корректировка заготовок и т.д.

Однако, механизм построения и «прочтения» специальных (проективографических) чертежей различной сложности, а также выбор по ним двухмерных элементов для формирования трёхмерной конструкции объекта, в большинстве своём, остаются малодоступным занятием. На это указывает то обстоятельство, что в практику учебного макетирования слабо проникают геометрические структуры, основанные на принципе идеи Кеплера - продолжения многогранников.

В отечественных публикациях описывается способ построения такого вида чертежей, и рекомендуются приёмы выбора конструктивных элементов с помощью специальных точек - «полюсов» (2, 3). Этот механизм содержит определённое нагромождение геометрических операций и, представляется действенным инструментом для профессиональных геометров, занимающихся этой темой.

Остаётся надеяться, что наиболее успешным способом, с точки зрения, его практического применения в учебном макетировании, будет формироваться тот способ, который объединит в себе двухмерную и трёхмерную наглядность в единое целое.

Отметим, что в двухмерном пространстве чертежей, например, точки, через которые проходят оси симметрии n-порядков, остаются опорными для определения количественной стороны конструктивных элементов. А трёхмерная рёберно-сетчатая модель помогает обеспечивать визуальную связь двух пространств.

Точки пресечения следов продолжений на чертеже - это точки, через которые в трёхмерном пространстве многогранника, проходят оси симметрии n-порядков. На двухмерной проекции определяется число n-угольных фигур, сбегающихся в точках (вершинах). Их число соответствует числовому значению осей или его удвоению. Например, в точках, через которые проходят оси симметрии второго порядка, соединяются по две, четыре фигуры. В точках осей симметрии третьего порядка соединяются три, шесть, двенадцать фигур, а в точках осей пятого порядка - по пять, десять и т.д.

Оси симметрии лежат в двухмерной плоскости проекции, равно как следы продолженных плоскостей граней n-гранника, а в трёхмерном пространстве они пересекаются в центре многогранника.

Рассмотрим моночертёж (ПРИЛОЖЕНИЕ, рис. 109). На его биссектрисах лежат точки пересечения следов продолжений. По ним определяются соединяющиеся между собой стороны n- угольников. По желанию с точек, как из центров окружностей, проводятся вспомогательные дуги. Они засекаются в вершинах продолжений и определяется количество фигур, сбегающихся в соответствующих точках. На проекции различными цветами отмечены точки, через которые проходят оси симметрии n-порядка. Например, через точки, отмеченные красным цветом, проходят оси симметрии второго порядка. Через точки, окрашенные зелёным цветом, проходят оси симметрии третьего порядка. Через точки, окрашенные синим цветом, проходят оси симметрии пятого порядка. На рисунке вверху изображен макет звёздчатой формы икосаэдра. На рисунке внизу n-угольные фигуры, формирующие данный многогранник, окрашены красным и желтым цветами.

На рисунке представлены две развёртки: розетка (рис. б ) и шестиугольная пирамида (рис. в ). Число розеток всего двенадцать, а пирамид - двадцать, что соответствует симметрии двойственной пары икосаэдра и додекаэдра.

Через пары противоположных вершин шестиугольных пирамид проходят оси симметрии третьего порядка. Через пары противоположных розеток, ориентируемых вершинами внутрь звёздчатого многогранника, проходят оси пятого порядка. Розетки окружены «кольцеобразно» пятью парами, симметрично объединённых между собой, мелких треугольников. Если вращать многогранник вдоль экваториальной плоскости сечения, то на линии предполагаемой окружности, обнаруживаются чередующиеся двенадцать точек. Через них проходят оси симметрии соответствующих порядков.

Возьмём в качестве отправной группы осей симметрии порядки - два, три и пять. Следующая группа - порядки два, пять и три. Далее последовательность порядков повторяется: два, три, пять; два, пять, три.

Нет необходимости подчеркивать значение геометрии в структуре морфологии вещи, а, следовательно, и её эстетических свойств. Признанный учебник Кимберли Элама «Геометрия дизайна» завершается важными мыслями: «Во многих учебных заведениях на факультетах искусств изучение геометрического построения начинается и заканчивается обсуждением золотого сечения на примере Парфенона в курсе истории искусств. Отчасти такое положение вещей является следствием традиционно сложившегося разделения дисциплин». Отмечая, сложившееся разделение учебных дисциплин, Элам продолжает: «Пересекающиеся предметные области зачастую игнорируются, и студенту приходится самостоятельно устанавливать связи» (7, с. 103).

Предложения в нашем исследовании носят всего лишь рекомендательную роль и ориентированы на ознакомление студентов с процессом моделирования геометрических образов. Способ многогранных продолжений, как нельзя лучше отвечает вопросам пропорциональной гармонизации трёхмерного объекта. Это является ценным методическим продуктом для активного привлечения студентов к вопросам пропорциональных и других систем в художественно-образном моделировании.