Построение моночертежа

Процесс продолжения граней многогранников приводит к многообразию пространственных форм. Этой теме уделялось большое внимание исследователями (4, с.228, 229). Стали доступными результаты математических открытий в области классификации многогранных тел. Особое место занимают звёздчатые многогранники.

Создавая макеты звёздчатых структур, студенты часто сталкиваются с неудовлетворяющими результатами относительно точного построения моночертежа. Чертёж является отображением плоскости, на которой все другие плоскости продолженных граней многогранника, остаются следами.

Прежде чем ознакомиться с построением моночертежа, обратимся к тезису из книги «Проективография» автора В. Гамаюнова, где он даёт пояснение способу продолжения многогранников: «Используя принцип Кеплера-Пуансо, т.е. принцип упорядоченности рубки пространства плоскостями, мы приходим к самым богатым пространственным структурам, состоящим из самых разнообразных кирпичиков. Особая универсальность такой структуры заключается в том, что каждая её образующая плоскость или структурный срез может быть принят за плоскость чертежа, представляющий собой кибернетический код всех других образующих плоскостей структуры» (2, с. 18). Этот тезис подчеркивает внешнюю природу структурных образований, что соответствует известному принципу «упорядоченности рубки пространства». Продолжением плоскостей граней многогранника («ядра») - определяется многообразие форм.

Касаясь внутренней структуры многогранников (секущих плоскостей), автор книги «Модели многогранников» М.Веннинджер излагает: «37 многоранников обнаружил Бадуро (1881), систематически исследовавший каждое из платоновых и архимедовых тел, с целью найти правильные многогранники или правильные звёзды среди сечений этих тел» (4, с. 114).

Делая акцент на секущих плоскостях многогранных тел, можно подчеркнуть, что предложенные нами рёберно-сетчатые модели отражают принцип рубки пространства.

С помощью графа (рис. 44) и его описания прослеживается распределение восемнадцати следов продолженных плоскостей (рис. 45).

Рассмотрим геометрический порядок построения моночертежа, часто изображаемого на страницах данного материала. На рисунке 45 моночертёж с ограниченным продолжением следов плоскостей граней в пределах большого треугольника ABC. Напомним, что три его стороны - следы одной из четырёх симметричных групп плоскостей граней икосаэдра. Построение сводится к простым графическим операциям. Задаётся окружность свободным радиусом и делением её на шесть частей. Выделяется равносторонний треугольник ABC по трём точкам деления окружности. На стороне BC строятся два перпендикуляра - BD и CE, которые проходят через свободные точки деления окружности. Через точку A треугольника проводится горизонтальная прямая линия. Замыкаются стороны, образующие прямоугольник BDEC, в который вписан треугольник ABC. Прямоугольник разбивается сеткой, состоящей из двенадцати ячеек. Порядок построения сетки легко определяется на представленном чертеже.

Рис. 45.

Через центр большого треугольника проводятся три биссектрисы, которые соединяют вершины A, B, C со свободными точками деления окружности.

На данной стадии геометрического построения все точки, необходимые для выполнения горизонтальных и вертикальных линий сетки, имеются на чертеже. Три стороны (следы) треугольника ABC пересекаются с пятнадцатью следами остальных трёх групп симметрических плоскостей. Для этого на каждой стороне данного треугольника устанавливаются по две точки, каждая из которых делит сторону в отношении «золотого сечения». Например, отношение линии AB (рис. 45) к отрезку A6 равно «золотым» пропорциям.

Из точек A, B, C, как из центров, радиусом AF или AG на сторонах большого треугольника засекаются искомые точки 1.6; 2.3; 3.4; 4.5. Установленные точки на сторонах большого треугольника соединяются между собой отрезками прямых. Образование двух равносторонних треугольников получаются соединением между собой нечетных (1. 3. 5), а затем четных (2. 4. 6) точек. Тремя парами прямых линий соединяются вершинные точки A, B, C с точками, лежащими на противоположных сторонах треугольника. На чертеже прямые линии проводятся параллельно сторонам AB, AC, BC, через пары точек 1.4; 2.5 и 3.6. В результате несложных геометрических построений, получается чертёж, который называется «шаблон» (4) или «моночертеж» (2).