Фигуры продолжений

Понимание принципа продолжения плоскостей граней и способа построения чертежей (эпюр), гарантируют успешное овладение приёмами формообразования, например, звёздчатых многогранников. Каждый правильный (равногранный) и полуправильный (неравногранный) многогранники имеют соответственно равные образующие рёбра. В отличие от платоновых, грани архимедовых тел, неравны между собой. Их грани, равносторонние n-угольники, отличаются своими размерами (рис. 1, фигуры 10 - 23).

Известно, что любые платоновы и архимедовы многогранники можно разместить внутри сферы. Их центры, полученные в результате пересечения осей симметрии, совпадают с центром сферы. Это обстоятельство важно учитывать при определении размера звёздчатых многогранников. Важно и то, что размеры первой и последующих форм, полученных продолжениями, будут отличаться в сторону их увеличения. С методической точки зрения, в качестве наглядного материала, полезно иметь «цепочку» макетов, последовательно сменяющихся пространственных форм.

На рисунке 39 моночертёж икосаэдра. На нём отмечены вершины a, b, c, d, e, f, совпадающие с малой окружностью. Через них в трёхмерном пространстве проходят оси симметрии второго порядка.

Рис. 39.

Плоские фигуры, заштрихованные внутри окружности, образуют в трёхмерном пространстве четырёхгранные углы. Они объединяются в звёздчатую форму - соединение пяти октаэдров, рис. 40(4).

Следующая средняя окружность пересекает точки 1-6. Эти точки являются вершинами известных звёздчатых многогранников: третья, седьмая и девятая формы икосаэдра (4). На рисунке 41 представлена звёздчатая форма под названием «соединение десяти тетраэдров».

Рис. 40. Рис. 41.

В центре чертежа (рис. 39) расположен равносторонний треугольник - одна из двадцати граней икосаэдра. К его сторонам примыкают равнобедренные треугольники, которые в трёхмерном пространстве объединяются в трёхгранные углы. Эти углы образуют треугольные пирамиды. Основания пирамид совпадают с гранями многогранника и составляют первую звёздчатую форму икосаэдра, рис. 42 (4).

Рис. 42.. Рис. 43.

Внешняя большая окружность (рис. 39) пересекает точки A, B, C. Это вершины нескольких звёздчатых образований, в которых сбегаются грани звёздчатой формы. Плоские элементы, образующие выпукло – вогнутую конструкцию десятигранного угла, заштрихованы по всему периметру равностороннего треугольника ABC. Двенадцать таких конструкций можно располагать, подобно «конструктору», на гранях додекаэдра и закреплять с помощью клея. В результате такого оформления сформируется звёздчатая форма большого икосаэдра (4). Эту форму связывают с именами Кеплера-Пуансо (рис. 43).

Чтобы извлечь из моночертежа необходимые конструктивные элементы трёхмерных образований, можно предварительно на макете многогранника пронумеровать грани и отметить их на графической схеме (графе) групп симметрических плоскостей (рис. 44).

Рис. 44.

В совокупности такие наглядные модели позволяют, в какой мере, контролировать порядок продолженных плоскостей граней на плоском поле чертежа и в пространстве. Включая в этот процесс рёберно-сетчатые модели, возможно значительно успешнее осваивать структуру трёхмерного продолжения.

В процессе создания развёрток отпадает необходимость осуществлять расчеты параметров плоских элементов (n-угольных отсеков) на поле моночертежа. Его двухмерная проекция содержит натуральную метрическую информацию плоских геометрических фигур. Следы разнонаправленных продолженных плоскостей многогранника пересекаются между собой на плоскости чертежа. Иногда равногранник называют ядром.

Рассмотрим симметричные группы плоскостей икосаэдра. На графе (рис. 44) отмечены номера граней. В центре графа расположен равносторонний треугольник - условная грань

икосаэдра. Диаметрально противоположная параллельная ей грань на схеме не изображена. Две окружности, вокруг центрального треугольника, показаны сплошными толстыми линиями. Они ограничивают номера видимых граней на макете икосаэдра, если смотреть на него сверху со стороны грани. Третья и четвёртая окружности ограничивают номера невидимых граней. Они изображены тонкими линиями. Оси симметрии проходят через вершины и срединные точки на сторонах треугольника. По номерам, относящихся к той или иной окружности, определяется число граней (плоскостей), входящих в соответствующую симметричную группу.

Первая группа - номера 1.2.3; вторая группа - 4.5.6.7. 8. 9; третья группа - 10.11.12.13.14.15; четвёртая группа - 16.17.18. Стрелки указывают переход с одной окружности на другую.

Число плоскостей симметричной группы соотносится с числом следов на двухмерном поле моночертежа. Следами плоскостей первой симметричной группы являются отрезки 1.4; 2.5; 3.6. Следы плоскостей второй симметричной группы - отрезки 1.3; 3.5; 1.5; 2.6; 2.4; 4.6. Следы плоскостей третьей симметричной группы - отрезки A4; A5; B2; B3; С1; C6. Следы плоскостей четвёртой симметричной группы - отрезки AC; BC; AB (рис.39).